Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая задача повышенной сложности (25)

Задачи №26 ОГЭ: углы треугольника

[latexpage]

В этой статье собраны задачи, связанные так или иначе с теоремой о сумме углов треугольника. Две из них взяты из разных вариантов ОГЭ по математике, где они присутствовали под номером 26, а первая – из олимпиады Физтех для 8 класса – хорошая, интересная задача.

Задача 1. На основании $AC$ треугольника $ABC$ выбраны четыре точки так, что отрезки, соединяющие их с вершиной $B$, делят угол $ABC$ на пять равных частей. Эти отрезки разделили треугольник на пять маленьких треугольников. Оказалось, что углы треугольника $ABC$ равны углам среднего из этих пяти маленьких треугольников (то есть эти треугольники подобны). Найдите длину наименьшей высоты треугольника $ABC$, если его наименьшая сторона равна 10.

Первым делом построим треугольник $ABC$, и разделим его угол $B$ на пять равных частей. Обозначим эти маленькие углы $x$. По условию, средний маленький треугольник подобен большому. Обозначим углы этого треугольника $BEF$ как $y$ и $z$. Тогда, очевидно, угол $z=\angle BCA$, а угол $\angle BAC=x$.

К задаче 1

Так как $y=5x$, то в треугольнике $BEF$ $z=180^{\circ}-x-5x=180^{\circ}-6x$. Тогда угол, смежный с углом $z$, равен $\angle BFG=6x$. Теперь рассмотрим треугольник $BFG$. Угол $\angle BGF=180^{\circ}-x-6x=180^{\circ}-7x$. Тогда угол, смежный с углом $\angle BGF$, равен $\angle AGB=7x$.

Следовательно, в треугольнике $AGB$ сумма углов равна $7x$, следовательно, $7x=180^{\circ}$, $x=20^{\circ}$.

Таким образом, нам удалось найти углы треугольника $ABC$: $\angle BAC=20^{\circ}$, $\angle ABC=5x=100^{\circ}$, $\angle BCA=60^{\circ}$ (из суммы углов).

Теперь мы точно знаем, какая сторона треугольника $ABC$ наименьшая: она лежит напротив наименьшего угла, то есть это $BC$.

К задаче 1 – рисунок 2

Внимание привлекает треугольник $FBC$: бросается в глаза то, что он равнобедренный, а немного подумав, понимаем, что он правильный. Наименьшей высотой треугольника $ABC$ будет та, которая будет проведена к наибольшей стороне, то есть к $AC$. Следовательно, наименьшая высота треугольника $ABC$ совпадает с высотой треугольника $FBC$, у которого все стороны по 10. Найти высоту правильного треугольника не составляет труда: можно вспомнить формулу, а можно воспользоваться теоремой Пифагора. Получим $h=5\sqrt{3}$.

Ответ: $h=5\sqrt{3}$.

Задача 2. Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник $ABC$, ка­са­ет­ся его сто­рон в точ­ках $M$, $K$ и $P$. Най­ди­те углы тре­уголь­ни­ка $ABC$, если углы тре­уголь­ни­ка $MKP$  равны $38^{\circ}$, $78^{\circ}$ и $64^{\circ}$.

 

К задаче 2

По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезок $AM=AP$, $BM=BK$, $CK=CP$, то есть треугольники $AMP$, $BMK$, $CKP$ – равнобедренные. Обозначим их равные углы через $x, y, z$.

К задаче 2 – детализация

Теперь для развернутых углов $AMB$, $BKC$, $APC$ запишем:

$$\begin{Bmatrix}{ x+z+38^{\circ}=180^{\circ}}\\{ x+y+78^{\circ}=180^{\circ}}\\{ y+z+64^{\circ}=180^{\circ}}\end{matrix}$$

Иначе,

$$\begin{Bmatrix}{ x+z=142^{\circ}}\\{ x+y=102^{\circ}}\\{ y+z=116^{\circ}}\end{matrix}$$

Сложив три уравнения системы, имеем:

$$2x+2y+2z=142^{\circ}+102^{\circ}+116^{\circ}=360^{\circ}$$

$$x+y+z=180^{\circ}$$

Сопоставляя это уравнение с исходными уравнениями системы, имеем:

$x=64^{\circ}$, $y=38^{\circ}$, $z=78^{\circ}$.

Осталось определить углы $ABC$:

$$\angle A=180^{\circ}-2z=180^{\circ}-156^{\circ}=24^{\circ}$$

$$\angle B=180^{\circ}-2x=180^{\circ}-128^{\circ}=52^{\circ}$$

$$\angle C=180^{\circ}-2y=180^{\circ}-76^{\circ}=104^{\circ}$$

Ответ: $\angle A=24^{\circ}$, $\angle B=52^{\circ}$, $\angle C=104^{\circ}$.

 

Задача 3. Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны  $A$ и $C$   тре­уголь­ни­ка  $ABC$  и пе­ре­се­ка­ет его сто­ро­ны  $AB$  и $BC$  в точ­ках  $K$  и  $E$  со­от­вет­ствен­но. От­рез­ки  $AE$  и $CK$   пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Най­ди­те  $\angle ABC$, если  $\angle KCB = 20^{\circ}$.

К задаче 3

Угол $KCE$ – вписанный. Он опирается на дугу $KE$. На эту же дугу опирается угол $KAE$, поэтому он также равен $20^{\circ}$.

В треугольнике $KOA$ угол $KOA$ – прямой по условию, поэтому по теореме о сумме углов угол $AKO=70^{\circ}$. Этот угол является внешним углом треугольника $KBC$, следовательно, сумма углов  $KBC$ и $BCK$ равна $70^{\circ}$, откуда $\angle KBC=50^{\circ}$.

Ответ: $\angle KBC=50^{\circ}$.

 

 

 

 

 

 

Комментариев - 2

  • Оксана
    |

    В задаче 2 угол х – это угол между касательной и секущей ,значит он равен половине дуги , заключенной между ними. А на эту дугу опирается вписанный угол, равный 64 градуса. Значит х= 64. Аналогично с остальными углами. Можно не составлять систему

    Ответить
    • Анна
      |

      Конечно. Теперь бы так и решала бы. А это… давно было.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *