Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая задача повышенной сложности (26)

Задачи №26 ОГЭ: углы треугольника

В этой статье собраны задачи, связанные так или иначе с теоремой о сумме углов треугольника. Две из них взяты из разных вариантов ОГЭ по математике, где они присутствовали под номером 26, а первая – из олимпиады Физтех для 8 класса – хорошая, интересная задача.

Задача 1. На основании AC треугольника ABC выбраны четыре точки так, что отрезки, соединяющие их с вершиной B, делят угол ABC на пять равных частей. Эти отрезки разделили треугольник на пять маленьких треугольников. Оказалось, что углы треугольника ABC равны углам среднего из этих пяти маленьких треугольников (то есть эти треугольники подобны). Найдите длину наименьшей высоты треугольника ABC, если его наименьшая сторона равна 10.

Первым делом построим треугольник ABC, и разделим его угол B на пять равных частей. Обозначим эти маленькие углы x. По условию, средний маленький треугольник подобен большому. Обозначим углы этого треугольника BEF как y и z. Тогда, очевидно, угол z=\angle BCA, а угол \angle BAC=x.

К задаче 1

Так как y=5x, то в треугольнике BEF z=180^{\circ}-x-5x=180^{\circ}-6x. Тогда угол, смежный с углом z, равен \angle BFG=6x. Теперь рассмотрим треугольник BFG. Угол \angle BGF=180^{\circ}-x-6x=180^{\circ}-7x. Тогда угол, смежный с углом \angle BGF, равен \angle AGB=7x.

Следовательно, в треугольнике AGB сумма углов равна 7x, следовательно, 7x=180^{\circ}, x=20^{\circ}.

Таким образом, нам удалось найти углы треугольника ABC: \angle BAC=20^{\circ}, \angle ABC=5x=100^{\circ}, \angle BCA=60^{\circ} (из суммы углов).

Теперь мы точно знаем, какая сторона треугольника ABC наименьшая: она лежит напротив наименьшего угла, то есть это BC.

К задаче 1 – рисунок 2

Внимание привлекает треугольник FBC: бросается в глаза то, что он равнобедренный, а немного подумав, понимаем, что он правильный. Наименьшей высотой треугольника ABC будет та, которая будет проведена к наибольшей стороне, то есть к AC. Следовательно, наименьшая высота треугольника ABC совпадает с высотой треугольника FBC, у которого все стороны по 10. Найти высоту правильного треугольника не составляет труда: можно вспомнить формулу, а можно воспользоваться теоремой Пифагора. Получим h=5\sqrt{3}.

Ответ: h=5\sqrt{3}.

Задача 2. Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся его сто­рон в точ­ках M, K и P. Най­ди­те углы тре­уголь­ни­ка ABC, если углы тре­уголь­ни­ка MKP  равны 38^{\circ}, 78^{\circ} и 64^{\circ}.

 

К задаче 2

По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезок AM=AP, BM=BK, CK=CP, то есть треугольники AMP, BMK, CKP – равнобедренные. Обозначим их равные углы через x, y, z.

К задаче 2 – детализация

Теперь для развернутых углов AMB, BKC, APC запишем:

    \[\begin{Bmatrix}{ x+z+38^{\circ}=180^{\circ}}\\{ x+y+78^{\circ}=180^{\circ}}\\{ y+z+64^{\circ}=180^{\circ}}\end{matrix}\]

Иначе,

    \[\begin{Bmatrix}{ x+z=142^{\circ}}\\{ x+y=102^{\circ}}\\{ y+z=116^{\circ}}\end{matrix}\]

Сложив три уравнения системы, имеем:

    \[2x+2y+2z=142^{\circ}+102^{\circ}+116^{\circ}=360^{\circ}\]

    \[x+y+z=180^{\circ}\]

Сопоставляя это уравнение с исходными уравнениями системы, имеем:

x=64^{\circ}, y=38^{\circ}, z=78^{\circ}.

Осталось определить углы ABC:

    \[\angle A=180^{\circ}-2z=180^{\circ}-156^{\circ}=24^{\circ}\]

    \[\angle B=180^{\circ}-2x=180^{\circ}-128^{\circ}=52^{\circ}\]

    \[\angle C=180^{\circ}-2y=180^{\circ}-76^{\circ}=104^{\circ}\]

Ответ: \angle A=24^{\circ}, \angle B=52^{\circ}, \angle C=104^{\circ}.

 

Задача 3. Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны  A и C   тре­уголь­ни­ка  ABC  и пе­ре­се­ка­ет его сто­ро­ны  AB  и BC  в точ­ках  K  и  E  со­от­вет­ствен­но. От­рез­ки  AE  и CK   пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Най­ди­те  \angle ABC, если  \angle KCB = 20^{\circ}.

К задаче 3

Угол KCE – вписанный. Он опирается на дугу KE. На эту же дугу опирается угол KAE, поэтому он также равен 20^{\circ}.

В треугольнике KOA угол KOA – прямой по условию, поэтому по теореме о сумме углов угол AKO=70^{\circ}. Этот угол является внешним углом треугольника KBC, следовательно, сумма углов  KBC и BCK равна 70^{\circ}, откуда \angle KBC=50^{\circ}.

Ответ: \angle KBC=50^{\circ}.

 

 

 

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *