Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: ОГЭ 26 (ГИА С6)

Задачи №26 ОГЭ: углы треугольника

В этой статье собраны задачи, связанные так или иначе с теоремой о сумме углов треугольника. Две из них взяты из разных вариантов ОГЭ по математике, где они присутствовали под номером 26, а первая – из олимпиады Физтех для 8 класса – хорошая, интересная задача.

Задача 1. На основании треугольника выбраны четыре точки так, что отрезки, соединяющие их с вершиной , делят угол на пять равных частей. Эти отрезки разделили треугольник на пять маленьких треугольников. Оказалось, что углы треугольника равны углам среднего из этих пяти маленьких треугольников (то есть эти треугольники подобны). Найдите длину наименьшей высоты треугольника , если его наименьшая сторона равна 10.

Первым делом построим треугольник , и разделим его угол на пять равных частей. Обозначим эти маленькие углы . По условию, средний маленький треугольник подобен большому. Обозначим углы этого треугольника как и . Тогда, очевидно, угол , а угол .

К задаче 1

Так как , то в треугольнике . Тогда угол, смежный с углом , равен . Теперь рассмотрим треугольник . Угол . Тогда угол, смежный с углом , равен .

Следовательно, в треугольнике сумма углов равна , следовательно, , .

Таким образом, нам удалось найти углы треугольника : , , (из суммы углов).

Теперь мы точно знаем, какая сторона треугольника наименьшая: она лежит напротив наименьшего угла, то есть это .

К задаче 1 – рисунок 2

Внимание привлекает треугольник : бросается в глаза то, что он равнобедренный, а немного подумав, понимаем, что он правильный. Наименьшей высотой треугольника будет та, которая будет проведена к наибольшей стороне, то есть к . Следовательно, наименьшая высота треугольника совпадает с высотой треугольника , у которого все стороны по 10. Найти высоту правильного треугольника не составляет труда: можно вспомнить формулу, а можно воспользоваться теоремой Пифагора. Получим .

Ответ: .

Задача 2. Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник , ка­са­ет­ся его сто­рон в точ­ках ,  и . Най­ди­те углы тре­уголь­ни­ка , если углы тре­уголь­ни­ка   равны , и .

 

К задаче 2

По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезок , , , то есть треугольники , , – равнобедренные. Обозначим их равные углы через .

К задаче 2 – детализация

Теперь для развернутых углов , , запишем:

   

Иначе,

   

Сложив три уравнения системы, имеем:

   

   

Сопоставляя это уравнение с исходными уравнениями системы, имеем:

, , .

Осталось определить углы :

   

   

   

Ответ: , , .

 

Задача 3. Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны   и    тре­уголь­ни­ка    и пе­ре­се­ка­ет его сто­ро­ны    и   в точ­ках    и    со­от­вет­ствен­но. От­рез­ки    и    пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Най­ди­те  , если  .

К задаче 3

Угол – вписанный. Он опирается на дугу . На эту же дугу опирается угол , поэтому он также равен .

В треугольнике угол – прямой по условию, поэтому по теореме о сумме углов угол . Этот угол является внешним углом треугольника , следовательно, сумма углов  и равна , откуда .

Ответ: .

 

 

 

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *