Задача с параметром, система с модулем

Задачи с параметром – одни из самых сложных в ЕГЭ, но зато и самые интересные. Решать их – одно удовольствие. Всем рекомендую подружиться с параметрами и не бояться сложных задач.

[latexpage]

Задача. При каком значении параметра система имеет больше двух решений?

$$\begin{Bmatrix}{x^2+2x+y^2+4y=4 \mid2x-y \mid}\\{x+2y=a}\end{matrix}$$

Раскроем модуль. Он будет сниматься с положительным знаком, если подмодульное выражение неотрицательно, и с отрицательным, если подмодульное выражение меньше 0:

$$\begin{Bmatrix}{\begin{bmatrix}{ x^2+2x+y^2+4y=8x-4y}\\{2x-y \geqslant 0}\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}{ x^2+2x+y^2+4y=-8x+4y }\\{2x-y < 0}\end{matrix}\\{x+2y=a}}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{\begin{bmatrix}{ x^2-6x+9+y^2+8y+16=25}\\{2x-y \geqslant 0}\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}{ x^2+10x+25+y^2=25 }\\{2x-y < 0}\end{matrix}\\{x+2y=a}}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{\begin{bmatrix}{ (x-3)^2+(y+4)^2=5^2}\\{2x-y \geqslant 0}\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}{ (x+5)^2+y^2=5^2 }\\{2x-y < 0}\end{matrix}\\{x+2y=a}}\end{matrix}$$

Таким образом, выделив полный квадрат, получили две окружности (вернее, их части). Одна из окружностей существует выше прямой $y=2x$, а вторая – ниже. Части наших окружностей стыкуются в точках с координатами O(0;0) и C(-2;-4) – это легко проверяется подстановкой.

Рисунок 1

Окружности будет пересекать прямая, коэффициент наклона которой $k$ постоянен, а коэффициент $b$ – меняется:

$$y=\frac{a-x}{2}=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2}$$

Такая прямая будет скользить по оси $y$ вверх-вниз, нас интересуют случаи, когда эта прямая будет иметь более двух пересечений с «восьмеркой» из окружностей. Начнем исследование с положения прямой такого, когда она проходит через начало координат.

Рисунок 2

Это крайняя точка, в которой система имеет три решения. При более низком положении прямой она будет какое-то время только два раза пересекать окружности (пока на точку С не наткнется). А вот при сдвиге прямой вверх из начала координат видим, что пересечений четыре – и так будет, пока прямая не станет касательной к окружностям. Определим значение параметра в случае, если начало координат принадлежит прямой $y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2}$, просто подставив координаты точки O в уравнение:

$$0=\frac{a}{2}$$

$$a=0$$

Теперь сдвигаем нашу прямую вверх, пока она не станет касательной к окружностям. Если в этом положении прямой сможем определить координаты точки $D$ или точки $K$ – дело в шляпе.

Рисунок 3

Подумаем: если прямая касается окружности, то радиус, проведенный в точку касания, должен быть ей перпедикулярен.  Заметим, что прямая $y=2x$, разграничивающая области существования окружностей, имеет коэффициент наклона 2, а прямая $y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2}$ – коэффициент наклона $-\frac{1}{2}$, и произведение этих двух коэффициентов равно (-1), следовательно, прямые перпендикулярны. Таким образом, мы доказали, что прямая $y=2x$ и прямая, которой принадлежит радиус $AD$, имеют одинаковый коэффициент наклона, равный  2,  то есть параллельны. Зная, что прямая, содержащая радиус $AD$, проходит через точку $A(-5;0)$, находим ее уравнение: $y=2x+10$.

Расстояние между точками $A$ и $D$ известно – оно равно радиусу окружности, они принадлежат одной прямой, координаты точки $A$ известны – ничего не стоит найти координаты $D$.

$$\begin{Bmatrix}{(x_D-x_A)^2+(y_D-y_A)^2=25}\\{y_D=2x_D+10}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{(x_D+5)^2+(2x_D+10)^2=25}\\{y_D=2x_D+10}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x^2+10x+25+4x^2+40x+100=25}\\{y_D=2x_D+10}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{5x^2+50x+100=0}\\{y_D=2x_D+10}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x^2+10x+120=0}\\{y_D=2x_D+10}\end{matrix}$$

Решим первое квадратное уравнение системы:

$$D=10^2-4 \cdot20=20$$

$$x_{1,2}=\frac{-10 \pm 2\sqrt{5}}{2}=-5 \pm \sqrt{5}$$

Два корня – это координаты по оси $x$ точек $D$ и противоположной ей точки – она нам понадобится чуть позже и мы к ней еще вернемся.

Найдем координату $y_D$:

$$ y_D=2x_D+10=2(-5+\sqrt{5})+10=2\sqrt{5}$$

Теперь ищем параметр, подставляя координаты точки $D$ в уравнение прямой  $y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2}$:

$$y_D=-\frac{x_D}{2}+\frac{a}{2}$$

$$2\sqrt{5}=-\frac{-5+\sqrt{5}}{2}+\frac{a}{2}$$

Откуда $a=5\sqrt{5}-5$.

За нами маленькая победа: мы нашли один из диапазонов параметра, который бы нас устраивал:

$$a \in [0; 5\sqrt{5}-5)$$

Ноль войдет в этот интервал, так как там три пересечения, а вот вторая граница – не войдет, там всего две точки касания, а нужно больше.

Приступаем к отысканию второго интервала:

Аналогично, просто подставив в уравнение координаты точки С, определяем значение параметра в случае, когда прямая пройдет  через эту точку:

$$y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2}$$

$$-4=-\frac{-2}{2}+\frac{a}{2}$$

$$\frac{a}{2}=-5$$

$$a=-10$$

Вот сейчас-то мы и вернемся ко второму решению квадратного уравнения: ведь это – координата по оси $x$ точки $E$: $x_E=-5-\sqrt{5}$.

Тогда ее координата по оси ординат:

$$y_E=2x_E+10=-2\sqrt{5}$$

Определяем значение параметра:

$$y_E=-\frac{x_E}{2}+\frac{a}{2}$$

$$-2\sqrt{5}=-\frac{-5-\sqrt{5}}{2}+\frac{a}{2}$$

Откуда $a=-5\sqrt{5}-5$.

Тогда второй промежуток значений параметра равен: $a \in (-5\sqrt{5}-5; -10]$.