Задача с параметром, система с модулем

Задачи с параметром – одни из самых сложных в ЕГЭ, но зато и самые интересные. Решать их – одно удовольствие. Всем рекомендую подружиться с параметрами и не бояться сложных задач.

Задача. При каком значении параметра система имеет больше двух решений?

Раскроем модуль. Он будет сниматься с положительным знаком, если подмодульное выражение неотрицательно, и с отрицательным, если подмодульное выражение меньше 0:

Таким образом, выделив полный квадрат, получили две окружности (вернее, их части). Одна из окружностей существует выше прямой , а вторая – ниже. Части наших окружностей стыкуются в точках с координатами O(0;0) и C(-2;-4) – это легко проверяется подстановкой.

Рисунок 1

Окружности будет пересекать прямая, коэффициент наклона которой постоянен, а коэффициент – меняется:

Такая прямая будет скользить по оси вверх-вниз, нас интересуют случаи, когда эта прямая будет иметь более двух пересечений с «восьмеркой» из окружностей. Начнем исследование с положения прямой такого, когда она проходит через начало координат.

Рисунок 2

Это крайняя точка, в которой система имеет три решения. При более низком положении прямой она будет какое-то время только два раза пересекать окружности (пока на точку С не наткнется). А вот при сдвиге прямой вверх из начала координат видим, что пересечений четыре – и так будет, пока прямая не станет касательной к окружностям. Определим значение параметра в случае, если начало координат принадлежит прямой , просто подставив координаты точки O в уравнение:

Теперь сдвигаем нашу прямую вверх, пока она не станет касательной к окружностям. Если в этом положении прямой сможем определить координаты точки или точки – дело в шляпе.

Рисунок 3

Подумаем: если прямая касается окружности, то радиус, проведенный в точку касания, должен быть ей перпедикулярен.  Заметим, что прямая , разграничивающая области существования окружностей, имеет коэффициент наклона 2, а прямая – коэффициент наклона , и произведение этих двух коэффициентов равно (-1), следовательно, прямые перпендикулярны. Таким образом, мы доказали, что прямая и прямая, которой принадлежит радиус , имеют одинаковый коэффициент наклона, равный  2,  то есть параллельны. Зная, что прямая, содержащая радиус , проходит через точку , находим ее уравнение: .

Расстояние между точками и известно – оно равно радиусу окружности, они принадлежат одной прямой, координаты точки известны – ничего не стоит найти координаты .

Решим первое квадратное уравнение системы:

Два корня – это координаты по оси точек и противоположной ей точки – она нам понадобится чуть позже и мы к ней еще вернемся.

Найдем координату :

Теперь ищем параметр, подставляя координаты точки в уравнение прямой  :

Откуда .

За нами маленькая победа: мы нашли один из диапазонов параметра, который бы нас устраивал:

Ноль войдет в этот интервал, так как там три пересечения, а вот вторая граница – не войдет, там всего две точки касания, а нужно больше.

Приступаем к отысканию второго интервала:

Аналогично, просто подставив в уравнение координаты точки С, определяем значение параметра в случае, когда прямая пройдет  через эту точку:

Вот сейчас-то мы и вернемся ко второму решению квадратного уравнения: ведь это – координата по оси точки : .

Тогда ее координата по оси ординат:

Определяем значение параметра:

Откуда .

Тогда второй промежуток значений параметра равен: .