Задача с параметром, система с модулем

Задачи с параметром – одни из самых сложных в ЕГЭ, но зато и самые интересные. Решать их – одно удовольствие. Всем рекомендую подружиться с параметрами и не бояться сложных задач.

Задача. При каком значении параметра система имеет больше двух решений?

$\begin{Bmatrix}{x^2+2x+y^2+4y=4 \mid2x-y \mid}\\{x+2y=a}\end{matrix}$

Раскроем модуль. Он будет сниматься с положительным знаком, если подмодульное выражение неотрицательно, и с отрицательным, если подмодульное выражение меньше 0:

$\begin{Bmatrix}{\begin{bmatrix}{ x^2+2x+y^2+4y=8x-4y}\\{2x-y \geqslant 0}\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}{ x^2+2x+y^2+4y=-8x+4y }\\{2x-y < 0}\end{matrix}\\{x+2y=a}}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{\begin{bmatrix}{ x^2-6x+9+y^2+8y+16=25}\\{2x-y \geqslant 0}\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}{ x^2+10x+25+y^2=25 }\\{2x-y < 0}\end{matrix}\\{x+2y=a}}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{\begin{bmatrix}{ (x-3)^2+(y+4)^2=5^2}\\{2x-y \geqslant 0}\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}{ (x+5)^2+y^2=5^2 }\\{2x-y < 0}\end{matrix}\\{x+2y=a}}\end{matrix}$

Таким образом, выделив полный квадрат, получили две окружности (вернее, их части). Одна из окружностей существует выше прямой $y=2x$ , а вторая – ниже. Части наших окружностей стыкуются в точках с координатами O(0;0) и C(-2;-4) – это легко проверяется подстановкой.

Рисунок 1

Окружности будет пересекать прямая, коэффициент наклона которой $k$ постоянен, а коэффициент $b$ – меняется:

$y=\frac{a-x}{2}=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2}$

Такая прямая будет скользить по оси $y$ вверх-вниз, нас интересуют случаи, когда эта прямая будет иметь более двух пересечений с «восьмеркой» из окружностей. Начнем исследование с положения прямой такого, когда она проходит через начало координат.

Рисунок 2

Это крайняя точка, в которой система имеет три решения. При более низком положении прямой она будет какое-то время только два раза пересекать окружности (пока на точку С не наткнется). А вот при сдвиге прямой вверх из начала координат видим, что пересечений четыре – и так будет, пока прямая не станет касательной к окружностям. Определим значение параметра в случае, если начало координат принадлежит прямой $y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2}$ , просто подставив координаты точки O в уравнение:

$0=\frac{a}{2}$

$a=0$

Теперь сдвигаем нашу прямую вверх, пока она не станет касательной к окружностям. Если в этом положении прямой сможем определить координаты точки $D$ или точки $K$ – дело в шляпе.

Рисунок 3

Подумаем: если прямая касается окружности, то радиус, проведенный в точку касания, должен быть ей перпедикулярен. Заметим, что прямая $y=2x$ , разграничивающая области существования окружностей, имеет коэффициент наклона 2, а прямая $y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2}$ – коэффициент наклона $-\frac{1}{2}$ , и произведение этих двух коэффициентов равно (-1), следовательно, прямые перпендикулярны. Таким образом, мы доказали, что прямая $y=2x$ и прямая, которой принадлежит радиус $AD$ , имеют одинаковый коэффициент наклона, равный 2, то есть параллельны. Зная, что прямая, содержащая радиус $AD$ , проходит через точку $A(-5;0)$ , находим ее уравнение: $y=2x+10$ .

Расстояние между точками $A$ и $D$ известно – оно равно радиусу окружности, они принадлежат одной прямой, координаты точки $A$ известны – ничего не стоит найти координаты $D$ .