Задачи с параметром – одни из самых сложных в ЕГЭ, но зато и самые интересные. Решать их – одно удовольствие. Всем рекомендую подружиться с параметрами и не бояться сложных задач.
Задача. При каком значении параметра система имеет больше двух решений?
Раскроем модуль. Он будет сниматься с положительным знаком, если подмодульное выражение неотрицательно, и с отрицательным, если подмодульное выражение меньше 0:
Таким образом, выделив полный квадрат, получили две окружности (вернее, их части). Одна из окружностей существует выше прямой , а вторая – ниже. Части наших окружностей стыкуются в точках с координатами O(0;0) и C(-2;-4) – это легко проверяется подстановкой.

Рисунок 1
Окружности будет пересекать прямая, коэффициент наклона которой постоянен, а коэффициент
– меняется:
Такая прямая будет скользить по оси вверх-вниз, нас интересуют случаи, когда эта прямая будет иметь более двух пересечений с «восьмеркой» из окружностей. Начнем исследование с положения прямой такого, когда она проходит через начало координат.

Рисунок 2
Это крайняя точка, в которой система имеет три решения. При более низком положении прямой она будет какое-то время только два раза пересекать окружности (пока на точку С не наткнется). А вот при сдвиге прямой вверх из начала координат видим, что пересечений четыре – и так будет, пока прямая не станет касательной к окружностям. Определим значение параметра в случае, если начало координат принадлежит прямой , просто подставив координаты точки O в уравнение:
Теперь сдвигаем нашу прямую вверх, пока она не станет касательной к окружностям. Если в этом положении прямой сможем определить координаты точки или точки
– дело в шляпе.

Рисунок 3
Подумаем: если прямая касается окружности, то радиус, проведенный в точку касания, должен быть ей перпедикулярен. Заметим, что прямая , разграничивающая области существования окружностей, имеет коэффициент наклона 2, а прямая
– коэффициент наклона
, и произведение этих двух коэффициентов равно (-1), следовательно, прямые перпендикулярны. Таким образом, мы доказали, что прямая
и прямая, которой принадлежит радиус
, имеют одинаковый коэффициент наклона, равный 2, то есть параллельны. Зная, что прямая, содержащая радиус
, проходит через точку
, находим ее уравнение:
.
Расстояние между точками и
известно – оно равно радиусу окружности, они принадлежат одной прямой, координаты точки
известны – ничего не стоит найти координаты
.
Решим первое квадратное уравнение системы:
Два корня – это координаты по оси точек
и противоположной ей точки – она нам понадобится чуть позже и мы к ней еще вернемся.
Найдем координату :
Теперь ищем параметр, подставляя координаты точки в уравнение прямой
:
Откуда .
За нами маленькая победа: мы нашли один из диапазонов параметра, который бы нас устраивал:
Ноль войдет в этот интервал, так как там три пересечения, а вот вторая граница – не войдет, там всего две точки касания, а нужно больше.
Приступаем к отысканию второго интервала:
Аналогично, просто подставив в уравнение координаты точки С, определяем значение параметра в случае, когда прямая пройдет через эту точку:
Вот сейчас-то мы и вернемся ко второму решению квадратного уравнения: ведь это – координата по оси точки
:
.
Тогда ее координата по оси ординат:
Определяем значение параметра:
Откуда .
Тогда второй промежуток значений параметра равен: .
Здравствуйте. Сейчас пересмотрю решение. Надо ввести разные температуры. Жаль, не...
Здравствуйте! Почему в задаче 3 перегородка теплоизолирующая? Казалось бы,...
Согласна, решать можно по-разному, и ваше решение строже, чем мое. И бог с ними, с...
Здравствуйте! Благодарю Вас за варианты, которые Вы создаете. Заметила небольшое...
Дина, спасибо большое. Я не успела ответить. А изменение заряда я...