Задача с параметром. С5.

Найдите все значения а, при каждом из которых система имеет ровно три различных решения.

 Понятно, что первое уравнение – это уравнение окружности с центром в точке (4;4) и радиусом 3. Что представляет собой второй график?  Это “галка”, функция , которая “скользит” по прямой у=1. Параметр а – это величина, на которую удалена вершина нашей “галочки” от оси у.

Три решения система имеет, если “галка” три раза пересекает окружность.Поэтому первое решение напрашивается само собой: вершина “галки” – в нижней точке окружности, ветви пересекают окружность в еще двух точках:

Тогда первое решение а=4. Еще два решения получатся, если “галочка” будет касаться окружности одной своей веткой, а вторая пересечет  окружность дважды. При этом, если ветвь галки касается окружности слева, то уравнение у=-х должно являться касательной к окружности, во втором случае, когда  ветвь галки касается окружности справа, то уже уравнение у=х должно являться касательной к окружности. Иными словами, необходимо определить, какой координате х соответствуют точки пересечения этих касательных и прямой  у=1.

Для отыскания этих двух точек предлагаю воспользоваться наиболее простым путем. Действительно, поскольку и прямая y=x, и прямаяy=-x образуют с осью х угол в 45 , то расстояние между двумя искомыми точками – это длина стороны восьмиугольника, описанного около нашей окружности. Найти длину стороны правильного восьмиугольника не представляет труда. Центральный угол:

Тогда длина стороны нашего восьмиугольника:

“Раскроем” тангенс половинного угла:

Нам нужна не целая сторона восьмиугольника, а ее половина:

Наконец, искомые два значения параметра:

Ответ:   ,  ,