Найдите все значения а, при каждом из которых система имеет ровно три различных решения.
Понятно, что первое уравнение – это уравнение окружности с центром в точке (4;4) и радиусом 3. Что представляет собой второй график? Это “галка”, функция , которая “скользит” по прямой у=1. Параметр а – это величина, на которую удалена вершина нашей “галочки” от оси у.
Три решения система имеет, если “галка” три раза пересекает окружность.Поэтому первое решение напрашивается само собой: вершина “галки” – в нижней точке окружности, ветви пересекают окружность в еще двух точках:
Тогда первое решение а=4. Еще два решения получатся, если “галочка” будет касаться окружности одной своей веткой, а вторая пересечет окружность дважды. При этом, если ветвь галки касается окружности слева, то уравнение у=-х должно являться касательной к окружности, во втором случае, когда ветвь галки касается окружности справа, то уже уравнение у=х должно являться касательной к окружности. Иными словами, необходимо определить, какой координате х соответствуют точки пересечения этих касательных и прямой у=1.
Для отыскания этих двух точек предлагаю воспользоваться наиболее простым путем. Действительно, поскольку и прямая y=x, и прямаяy=-x образуют с осью х угол в 45 , то расстояние между двумя искомыми точками – это длина стороны восьмиугольника, описанного около нашей окружности. Найти длину стороны правильного восьмиугольника не представляет труда. Центральный угол:
Тогда длина стороны нашего восьмиугольника:
“Раскроем” тангенс половинного угла:
Нам нужна не целая сторона восьмиугольника, а ее половина:
Наконец, искомые два значения параметра:
Ответ: ,
,
Ждем-с. Скоро...
Скоро сайт заработает нормально. Сама жду-не...
Спасибо за раздел "Олимпиадная физика". Ваш сайт-лучший сайт на эту...
Пример 2. При х=2.5,...
Уважаемая Анна Валерьевна! Можно еще раз спросить Вас, почему формулы в Ваших...