Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 18 (С5)

Задача с параметром: прямая и окружности

 

Систему из двух окружностей пересекает прямая. Прямая меняет свой коэффициент наклона, и нужно найти все такие коэффициенты наклона этой прямой, чтобы пересечений с окружностями было бы три или более.

Задача. При каком значении параметра система имеет больше двух решений?

   

Раскроем модуль. Он будет сниматься с положительным знаком, если подмодульное выражение неотрицательно, и с отрицательным, если подмодульное выражение меньше 0:

   

   

   

Таким образом, выделив полный квадрат, получили две окружности (вернее, их части). Одна из окружностей существует выше прямой , а вторая – ниже. Части наших окружностей стыкуются в точках с координатами O(0;0) и C(-2;-4) – это легко проверяется подстановкой.

Рисунок 1 – окружности и прямая разграничения

Окружности будет пересекать прямая. Что это за прямая и как она себя ведет, сразу не очевидно, и решила вопрос обычной подстановкой произвольно выбранного значения параметра. Выяснилось, что при любых обстоятельствах (любом параметре)  коэффициент наклона меняется, а точка – всегда принадлежит этой прямой, то есть прямая будет вращаться, и центр вращения – точка С. Это обстоятельство сразу облегчило мою задачу. Осталось определить такие коэффициенты наклона прямой, когда она пересечет систему из двух окружностей трижды.

Если прямая задана уравнением    и проходит через точки и , то мы имеем два решения и это нас устраивать не может. Значение параметра при этом равно:

   

Методом неопределенных коэффициентов находим, что  – это крайняя точка интервала, потому что, стоит лишь чуть-чуть повернуть нашу прямую против часовой  стрелки, как тут же она станет секущей для обеих окружностей, и мы получим устраивающий нас вариант с тремя корнями (на рисунке показaн случай, когда ).

Рисунок 2 – значение параметра равно 4

И так будет продолжаться вплоть до того момента, пока прямая не станет касательной к правой окружности, это будет соответствовать , то есть первый интервал – это .

Продолжаем вращать нашу прямую против часовой стрелки. Начинаем с положения, когда она совпадает с осью – почти совпадает, имея, тем не менее, отрицательный коэффициент наклона – то есть стремится прижаться к оси слева – это соответствует коэффициенту наклона – и значению параметра – равным . Продолжая вращать прямую вокруг точки , понимаем, что три корня мы будем иметь при всех отрицательных коэффициентах наклона (на рисунке показано положение прямой для и ), при коэффициенте, равном 0, то есть когда наша прямая параллельна оси , и далее, при переходе значения параметра в положительную область значений – вплоть до момента, когда прямая не станет касательной к левой окружности.

Рисунок 3 – значение параметра равно -20

Рисунок 4 – значение параметра равно -2

Рисунок 5 – прямая стала касательной к левой окружности

 

Разберемся, какой коэффициент наклона будет у прямой, когда она станет касательной к левой окружности. Так как радиус обязан быть перпендикулярен нашей прямой, найдем коэффициент наклона прямой, проходящей через  точки и , а потом воспользуемся свойством произведения коэффициентов наклона двух перпендикулярных прямых:

   

Итак, уравнение прямой:

   

Чтобы найти коэффициенты, подставим в него координаты точек и :

   

Вычтем одно уравнение из другого:

   

Откуда (-\infty; \frac{3}{4})a in (-\infty; \frac{3}{4})\cup (2; +\infty)$

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *