Задача с параметром. Полуокружность

[latexpage]

Необходимо найти значение параметра, такое, чтобы уравнение имело единственное решение. Знакомимся с видом уравнения, задающего полуокружность.

Задача. Чему равно значение параметра $m$, если уравнение

$$mx-\sqrt{-x^2-28x+380}=-110+11m+10x$$

имеет единственное решение?

Перепишем немного иначе:

$$\sqrt{-x^2-28x+380}= mx +110-11m-10x $$

Поработаем с правой частью:

$$\sqrt{-x^2-28x+380}= x(m-10) -11(m-10)$$

$$\sqrt{-x^2-28x+380}= (x-11)(m-10)$$

Теперь займемся левой частью.

$$\sqrt{-x^2-28x-196+576}= (x-11)(m-10)$$

$$\sqrt{-(x+14)^2+576}= (x-11)(m-10)$$

В левой части имеем уравнение полуокружности с центром в точке $(-14;0)$. Как это понять? Возведем в квадрат:

$$y=\sqrt{-(x+14)^2+576}$$

$$y^2=-(x+14)^2+576$$

$$y^2+(x+14)^2=24^2$$

Получили уравнение окружности радиуса 24 с центром в точке $(-14;0)$. Но наличие корня «отрежет» все ординаты, меньшие нуля, вот и останется только верхняя половинка окружности.

А что в правой? Похоже, что прямая, только есть зависимость ее уравнения от параметра, поэтому необходимо понять, что с этой прямой происходит с изменением параметра. Заметим, что при любом $m$ точка с абсциссой 11 и ординатой 0 принадлежит прямой. То есть точка $(11;0)$ – центр вращения нашей прямой, у которой может меняться как коэффициент наклона $k=m-10$, так и коэффициент $b$. Нас, очевидно, интересует случай касания прямой и полуокружности. Причем найти надо коэффициент наклона прямой, то есть тангенс угла $DCE$.

Рассмотрим чертеж.

Полуокружность и касающаяся ее прямая

Треугольник $ABC$ – прямоугольный с прямым углом $A$, его катет $BA=24$, а гипотенуза $BC=25$, поэтому второй его катет равен 7 (по теореме Пифагора).

Треугольники $ABC$ и $DEC$ подобны (оба прямоугольные и угол $B$ равен углу $D$ как углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Поэтому для этих треугольников можно записать отношение сходственных сторон:

$$\frac{DE}{EC}=\frac{AB}{AC}$$

А искомый коэффициент наклона прямой равен:

$$k=-\frac{DE}{EC}=-\frac{AB}{AC}=-\frac{24}{7}$$

Тогда $m-10=k$ и

$$m=10+k=\frac{70}{7}-\frac{24}{7}=\frac{46}{7}$$

Других вариантов решения у этой задачи нет, так как только при касании прямая будет иметь одну общую точку с полуокружностью, во всех остальных случаях – либо две, либо ни одной.

Ответ: $m=\frac{46}{7}$.