Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Задача с параметром. Полуокружность

Необходимо найти значение параметра, такое, чтобы уравнение имело единственное решение. Знакомимся с видом уравнения, задающего полуокружность.

Задача. Чему равно значение параметра m, если уравнение

    \[mx-\sqrt{-x^2-28x+380}=-110+11m+10x\]

имеет единственное решение?

Перепишем немного иначе:

    \[\sqrt{-x^2-28x+380}= mx +110-11m-10x\]

Поработаем с правой частью:

    \[\sqrt{-x^2-28x+380}= x(m-10) -11(m-10)\]

    \[\sqrt{-x^2-28x+380}= (x-11)(m-10)\]

Теперь займемся левой частью.

    \[\sqrt{-x^2-28x-196+576}= (x-11)(m-10)\]

    \[\sqrt{-(x+14)^2+576}= (x-11)(m-10)\]

В левой части имеем уравнение полуокружности с центром в точке (-14;0). Как это понять? Возведем в квадрат:

    \[y=\sqrt{-(x+14)^2+576}\]

    \[y^2=-(x+14)^2+576\]

    \[y^2+(x+14)^2=24^2\]

Получили уравнение окружности радиуса 24 с центром в точке (-14;0). Но наличие корня «отрежет» все ординаты, меньшие нуля, вот и останется только верхняя половинка окружности.

А что в правой? Похоже, что прямая, только есть зависимость ее уравнения от параметра, поэтому необходимо понять, что с этой прямой происходит с изменением параметра. Заметим, что при любом m точка с абсциссой 11 и ординатой 0 принадлежит прямой. То есть точка (11;0) – центр вращения нашей прямой, у которой может меняться как коэффициент наклона k=m-10, так и коэффициент b. Нас, очевидно, интересует случай касания прямой и полуокружности. Причем найти надо коэффициент наклона прямой, то есть тангенс угла DCE.

Рассмотрим чертеж.

Полуокружность и касающаяся ее прямая

 

Треугольник ABC – прямоугольный с прямым углом A, его катет BA=24, а гипотенуза BC=25, поэтому второй его катет равен 7 (по теореме Пифагора).

Треугольники ABC и DEC подобны (оба прямоугольные и угол B равен углу D как углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Поэтому для этих треугольников можно записать отношение сходственных сторон:

    \[\frac{DE}{EC}=\frac{AB}{AC}\]

А искомый коэффициент наклона прямой равен:

    \[k=-\frac{DE}{EC}=-\frac{AB}{AC}=-\frac{24}{7}\]

Тогда m-10=k и

    \[m=10+k=\frac{70}{7}-\frac{24}{7}=\frac{46}{7}\]

Других вариантов решения у этой задачи нет, так как только при касании прямая будет иметь одну общую точку с полуокружностью, во всех остальных случаях – либо две, либо ни одной.

Ответ: m=\frac{46}{7}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *