Задача с параметром. Полуокружность

Необходимо найти значение параметра, такое, чтобы уравнение имело единственное решение. Знакомимся с видом уравнения, задающего полуокружность.

Задача. Чему равно значение параметра , если уравнение

имеет единственное решение?

Перепишем немного иначе:

Поработаем с правой частью:

Теперь займемся левой частью.

В левой части имеем уравнение полуокружности с центром в точке . Как это понять? Возведем в квадрат:

Получили уравнение окружности радиуса 24 с центром в точке . Но наличие корня «отрежет» все ординаты, меньшие нуля, вот и останется только верхняя половинка окружности.

А что в правой? Похоже, что прямая, только есть зависимость ее уравнения от параметра, поэтому необходимо понять, что с этой прямой происходит с изменением параметра. Заметим, что при любом точка с абсциссой 11 и ординатой 0 принадлежит прямой. То есть точка - центр вращения нашей прямой, у которой может меняться как коэффициент наклона , так и коэффициент . Нас, очевидно, интересует случай касания прямой и полуокружности. Причем найти надо коэффициент наклона прямой, то есть тангенс угла .

Рассмотрим чертеж.

Полуокружность и касающаяся ее прямая

Треугольник - прямоугольный с прямым углом , его катет , а гипотенуза , поэтому второй его катет равен 7 (по теореме Пифагора).

Треугольники и подобны (оба прямоугольные и угол равен углу как углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Поэтому для этих треугольников можно записать отношение сходственных сторон:

А искомый коэффициент наклона прямой равен:

Тогда и

Других вариантов решения у этой задачи нет, так как только при касании прямая будет иметь одну общую точку с полуокружностью, во всех остальных случаях – либо две, либо ни одной.

Ответ: .