Задача с параметром от ЗФТШ

[latexpage]

Еще одна задача с параметром от ЗФТШ.

Задача. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $f(x) = \mid a +3 \mid\sqrt[3]{x}$ имеет четыре решения, где $f$ – четная периодическая функция с периодом $T = \frac{16}{3}$, определенная на всей числовой прямой, причем $f(x) = ax^2$, если $0 \leqslant x\leqslant \frac{8}{3}$.

Решение. Задано уравнение, в котором $f(x) = ax^2$. Уравнение имеет вид

$f(x)=t(x)$, $t(x)= \mid a +3 \mid\sqrt[3]{x}$. Функция $f(x)$ – часть параболы. Эта парабола имеет вершину в начале координат и переменный старший коэффициент, что может повлиять не только на «ширину раствора» параболы, но и на  то, будут ли ее ветви ориентированы вверх или вниз. Пока предположим, что ветви вверх, то есть $a>0$.

Подставим значение $x=\frac{8}{3}$:

$$y=a\cdot \frac{64}{9}$$

Так как функция периодическая, то кусочек параболы, зажатый между $-\frac{8}{3}$ и $\frac{8}{3}$, будет повторяться с периодом $T = \frac{16}{3}$.

Строим левую часть уравнения

Теперь изобразим правую часть, это график кубического корня, имеющий некоторый коэффициент $a+3$. Это возрастающая на всей числовой оси функция, но пока нас интересует ее правая часть – в положительной полуплоскости – потому что именно эта часть графика будет пересекаться с $f(x)$. Изобразим сразу эту функцию так, чтобы она пересекала бы $f(x)$ четыре раза:

Строим правую часть так, чтобы было 4 решения

График должен пройти через точку $8; \frac{64a}{9}$. Подставим координаты точки в наше уравнение:

$$\frac{64}{9}=\mid a+3 \mid \sqrt[3]{8}$$

Снимаем модуль со знаком плюс, потому что при $a>0$ подмодульное выражение положительно.
$$\frac{64}{9}=(a+3)\cdot 2$$

$$\frac{64}{9}=2a+6$$

$$2a=\frac{10}{9}$$

$$a=\frac{5}{9}$$
При $a=0$ парабола выродится в точку, и решение будет только одно, что нас не устраивает.

Теперь рассмотрим $a<0$. Ветви параболы при этом направлены вниз и все решения будут в третьем квадранте.

Вариант с отрицательным а.

График должен пройти через точку $-8; \frac{64a}{9}$. Подставим координаты точки в наше уравнение:

$$\frac{64}{9}=\mid a+3 \mid \sqrt[3]{-8}$$

$$\frac{64}{9}=-2\mid a+3 \mid$$

$$-\frac{32}{9}=\mid a+3 \mid$$

Теперь раскроем модуль. Слева, т.к. $a$ отрицательно, положительное число. Поэтому раскрываем модуль и с плюсом, и с минусом:

$$a+3=-\frac{32}{9}$$

$$a=-\frac{59}{9}$$

Или

$$a+3=\frac{32}{9}$$

$$a=\frac{5}{9}$$

Последнее не удовлетворяет условию $a<0$.

Ответ: $a=\frac{5}{9}$ или $a=-\frac{59}{9}$.