[latexpage]
Страшное снаружи, доброе внутри…
Задача. Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение
$$\left(x+\frac{1}{x-a}\right)^2-(a+9) \left(x+\frac{1}{x-a}\right)+2a(9-a)=0$$
Имеет 4 решения. (Реальный ЕГЭ 2014).
Решение. Заметим, что относительно $t=\left(x+\frac{1}{x-a}\right)$ уравнение является квадратным. Значит, необходимо, чтобы его дискриминант был бы положительным – тогда оно будет иметь два корня. И уравнения, полученные при обратной замене – тоже должны иметь по два корня. Тогда цель будет достигнута – исходное уравнение получит 4 корня.
Заметим, что корни исходного уравнения по теореме Виета равны $2a$ и $9-a$ – их сумма как раз равна $a+9$. Тогда или
$$ x+\frac{1}{x-a}=2a$$
Или
$$ x+\frac{1}{x-a}=9-a$$
Потребуем, чтобы дискриминант первого уравнения был бы больше нуля:
$$x(x-a)+1=2a(x-a)$$
$$x^2-xa+1=2ax-2a^2$$
$$x^2-3ax+1+2a^2=0$$
$$D=9a^2-4(1+2a^2)=a^2-4$$
$$a^2-4>0$$
$$a>2$$
$$a<-2$$
Теперь возьмем второе уравнение, и также потребуем, чтобы его дискриминант был бы больше нуля:
$$x(x-a)+1=(9-a)(x-a)$$
$$x^2-xa+1=9x-9a-ax+a^2$$
$$x^2-9x+1+9a-a^2=0$$
$$D=9^2-4(1+9a-a^2)=81-4-36a+4a^2$$
$$4a^2-36a+77>0$$
$$\frac{D}{4}=324-4\cdot 77=16$$
$$a<3,5$$
$$a>5,5$$
Вернемся к исходному уравнению и его дискриминанту:
$$t^2-(a+9)t+2a(9-a)=0$$
$$D=(a+9)^2-8a(9-a)=a^2+18a+81-72a+8a^2=9a^2-54a+81$$
$$9a^2-54a+81>0$$
$$a^2-6a+9>0$$
$$(a-3)^2>0$$
А это выполняется везде, кроме одной точки: $a=3$. Поэтому нам теперь нужно наложить решения всех полученных неравенств друг на друга (они составят систему).
Ответ: $a \in (-\infty; -2)\cup (2;3)\cup (3; 3,5)\cup(5,5; +\infty)$
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...
Потому что дана не удельная, а просто теплоемкость - она уже внутри себя несет...