Задача с параметром на определение числа корней уравнения

Страшное снаружи, доброе внутри…

Задача. Найти все значения параметра $a$ , при которых уравнение

$\left(x+\frac{1}{x-a}\right)^2-(a+9) \left(x+\frac{1}{x-a}\right)+2a(9-a)=0$

Имеет 4 решения. (Реальный ЕГЭ 2014).

Решение. Заметим, что относительно $t=\left(x+\frac{1}{x-a}\right)$ уравнение является квадратным. Значит, необходимо, чтобы его дискриминант был бы положительным – тогда оно будет иметь два корня. И уравнения, полученные при обратной замене – тоже должны иметь по два корня. Тогда цель будет достигнута – исходное уравнение получит 4 корня.

Заметим, что корни исходного уравнения по теореме Виета равны $2a$ и $9-a$ – их сумма как раз равна $a+9$ . Тогда или

$x+\frac{1}{x-a}=2a$

Или

$x+\frac{1}{x-a}=9-a$

Потребуем, чтобы дискриминант первого уравнения был бы больше нуля:

$x(x-a)+1=2a(x-a)$

$x^2-xa+1=2ax-2a^2$

$x^2-3ax+1+2a^2=0$

$D=9a^2-4(1+2a^2)=a^2-4$

$a^2-4>0$

$a>2$

$a<-2$

Теперь возьмем второе уравнение, и также потребуем, чтобы его дискриминант был бы больше нуля:

$x(x-a)+1=(9-a)(x-a)$

$x^2-xa+1=9x-9a-ax+a^2$

$x^2-9x+1+9a-a^2=0$

$D=9^2-4(1+9a-a^2)=81-4-36a+4a^2$

$4a^2-36a+77>0$

$\frac{D}{4}=324-4\cdot 77=16$

$a<3,5$

$a>5,5$

Вернемся к исходному уравнению и его дискриминанту:

$t^2-(a+9)t+2a(9-a)=0$

$D=(a+9)^2-8a(9-a)=a^2+18a+81-72a+8a^2=9a^2-54a+81$

$9a^2-54a+81>0$

$a^2-6a+9>0$

$(a-3)^2>0$

А это выполняется везде, кроме одной точки: $a=3$ . Поэтому нам теперь нужно наложить решения всех полученных неравенств друг на друга (они составят систему).

Из_сети_рис

Ответ: $a \in (-\infty; -2)\cup (2;3)\cup (3; 3,5)\cup(5,5; +\infty)$

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Мар
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30

Задача с параметром на определение числа корней уравнения

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Профи.ру

Пароль для библиотеки – 777

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы