Задача с параметром на определение числа корней уравнения

[latexpage]

Страшное снаружи, доброе внутри…

Задача. Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение

$$\left(x+\frac{1}{x-a}\right)^2-(a+9) \left(x+\frac{1}{x-a}\right)+2a(9-a)=0$$

Имеет 4 решения. (Реальный ЕГЭ 2014).

Решение. Заметим, что относительно $t=\left(x+\frac{1}{x-a}\right)$ уравнение является квадратным. Значит, необходимо, чтобы его дискриминант был  бы положительным – тогда оно будет иметь два корня. И уравнения, полученные при обратной замене – тоже должны иметь по два корня. Тогда цель будет достигнута – исходное уравнение получит 4 корня.

Заметим, что корни исходного уравнения по теореме Виета равны $2a$ и $9-a$ – их сумма как раз равна $a+9$. Тогда или

$$ x+\frac{1}{x-a}=2a$$

Или

$$ x+\frac{1}{x-a}=9-a$$

Потребуем, чтобы дискриминант первого уравнения был бы больше нуля:

$$x(x-a)+1=2a(x-a)$$

$$x^2-xa+1=2ax-2a^2$$

$$x^2-3ax+1+2a^2=0$$

$$D=9a^2-4(1+2a^2)=a^2-4$$

$$a^2-4>0$$

$$a>2$$

$$a<-2$$

Теперь возьмем второе уравнение, и также потребуем, чтобы его дискриминант был бы больше нуля:

$$x(x-a)+1=(9-a)(x-a)$$

$$x^2-xa+1=9x-9a-ax+a^2$$

$$x^2-9x+1+9a-a^2=0$$

$$D=9^2-4(1+9a-a^2)=81-4-36a+4a^2$$

$$4a^2-36a+77>0$$

$$\frac{D}{4}=324-4\cdot 77=16$$

$$a<3,5$$

$$a>5,5$$

Вернемся к исходному уравнению и его дискриминанту:

$$t^2-(a+9)t+2a(9-a)=0$$

$$D=(a+9)^2-8a(9-a)=a^2+18a+81-72a+8a^2=9a^2-54a+81$$

$$9a^2-54a+81>0$$

$$a^2-6a+9>0$$

$$(a-3)^2>0$$

А это выполняется везде, кроме одной точки: $a=3$. Поэтому нам теперь нужно наложить решения всех полученных неравенств друг на друга (они составят систему).

Ответ: $a \in (-\infty; -2)\cup (2;3)\cup (3; 3,5)\cup(5,5; +\infty)$