Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Задача с параметром на определение числа корней уравнения

Страшное снаружи, доброе внутри…

Задача. Найти все значения параметра a, при которых уравнение

    \[\left(x+\frac{1}{x-a}\right)^2-(a+9) \left(x+\frac{1}{x-a}\right)+2a(9-a)=0\]

Имеет 4 решения. (Реальный ЕГЭ 2014).

Решение. Заметим, что относительно t=\left(x+\frac{1}{x-a}\right) уравнение является квадратным. Значит, необходимо, чтобы его дискриминант был  бы положительным – тогда оно будет иметь два корня. И уравнения, полученные при обратной замене – тоже должны иметь по два корня. Тогда цель будет достигнута – исходное уравнение получит 4 корня.

Заметим, что корни исходного уравнения по теореме Виета равны 2a и 9-a – их сумма как раз равна a+9. Тогда или

    \[x+\frac{1}{x-a}=2a\]

Или

    \[x+\frac{1}{x-a}=9-a\]

Потребуем, чтобы дискриминант первого уравнения был бы больше нуля:

    \[x(x-a)+1=2a(x-a)\]

    \[x^2-xa+1=2ax-2a^2\]

    \[x^2-3ax+1+2a^2=0\]

    \[D=9a^2-4(1+2a^2)=a^2-4\]

    \[a^2-4>0\]

    \[a>2\]

    \[a<-2\]

Теперь возьмем второе уравнение, и также потребуем, чтобы его дискриминант был бы больше нуля:

    \[x(x-a)+1=(9-a)(x-a)\]

    \[x^2-xa+1=9x-9a-ax+a^2\]

    \[x^2-9x+1+9a-a^2=0\]

    \[D=9^2-4(1+9a-a^2)=81-4-36a+4a^2\]

    \[4a^2-36a+77>0\]

    \[\frac{D}{4}=324-4\cdot 77=16\]

    \[a<3,5\]

    \[a>5,5\]

Вернемся к исходному уравнению и его дискриминанту:

    \[t^2-(a+9)t+2a(9-a)=0\]

    \[D=(a+9)^2-8a(9-a)=a^2+18a+81-72a+8a^2=9a^2-54a+81\]

    \[9a^2-54a+81>0\]

    \[a^2-6a+9>0\]

    \[(a-3)^2>0\]

А это выполняется везде, кроме одной точки: a=3. Поэтому нам теперь нужно наложить решения всех полученных неравенств друг на друга (они составят систему).

Ответ: a \in (-\infty; -2)\cup (2;3)\cup (3; 3,5)\cup(5,5; +\infty)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *