Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Задача с параметром из олимпиады МФТИ 2020 года.

Задача с параметром из олимпиады МФТИ 2020 года. Очень простая, лично я люблю такие: с четкой графической интерпретацией.

Задача. Найдите все значения параметра a, при которых система

    \[\begin{Bmatrix}{ \mid y-3-x\mid+\midy-3+x\mid=6}\\{(\mid x\mid -4)^2+(\mid y\mid-3)^2=a}\end{matrix}\]

имеет ровно два решения.

Сразу видно, что второе уравнение системы задает систему окружностей переменного радиуса \sqrt{a} с центрами в точках (4,3); (4, -3); (-4, 3); (-4,-3).

Что же представляет собой изображение первого уравнения? Раскроем модули всеми возможными способами:

Оба – с плюсами (область, в которой y\qegslant x+3 и y\qegslant -x+3):

    \[y-3-x+y-3+x=6\]

Или

    \[2y=12\]

    \[y=6\]

Оба – с минусами (область, в которой y\legslant x+3 и y\legslant -x+3):

    \[-y+3+x-y+3-x=6\]

Или

    \[-2y=0\]

    \[y=0\]

Области, в которых модули раскрываются с разными знаками

Первый – с плюсом, второй – с минусом (область, в которой y\qegslant x+3 и y\legslant -x+3):

    \[y-3-x-y+3-x=6\]

Или

    \[-2x=6\]

    \[x=-3\]

Первый – с минусом, второй – с плюсом (область, в которой y\legslant x+3 и y\qegslant -x+3):

    \[-y+3+x+y-3+x=6\]

Или

    \[2x=6\]

    \[x=3\]

Тогда имеем квадрат:

Изображение первого уравнения системы

Теперь добавим к нему окружности:

При радиусах окружностей 1 имеем два решения

Видно, что при a=1 имеем как раз два решения. Затем при росте радиусов окружностей будут добавляться еще пересечения (решения), и, наконец, при a=25  – при этом радиус окружностей равен 5 – будет снова два решения. Два – потому что

    \[4^2+3^2=25\]

Точка (0; 0) принадлежит квадрату и является решением уравнения 2.

Два решения при радиусах окружностей 5

Ответ: a=1 и a=25.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *