Задача с параметром и модулем

Задачи с параметром – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Решение такой задачи – всегда исследование, всегда приключение. Тогда вперед, к приключениям!

Задача: Найти все значения параметра , при каждом из которых уравнение

Относительно переменной имеет ровно 4 решения.

Применим графическое решение. Запишем иначе:

Слева имеем параболу, график которой, вследствие наличия модуля, располагается только в верхней полуплоскости, вся его «подводная» часть отражена вверх:

Рисунок 1. Парабола “в модуле”

Справа имеем «галочку», вершина этой галочки будет перемещаться по прямой . То, что график выглядит, как «галка», понятно, но как была установлена траектория движения ее вершинки? А вот как:

Модуль может быть раскрыт как с плюсом, так и с минусом в зависимости от знака подмодульного выражения:

Тогда

Вычитаем уравнения:

Тогда

Теперь исследуем полученную систему двух графиков. Нас устраивают случаи, когда «галка» 4 раза пересекает параболу. Начинаем двигать нашу галочку слева направо:

Рисунок 2. Галка спускается вниз. Два корня (два пересечения)

В указанном положении будем иметь два корня. Поэтому продолжаем двигать галку вниз:

Рисунок 3. Галка спускается ниже. Три корня (два пересечения и касание)

Когда «галка»  своим правым крылом коснется параболы, ее отраженного, внутреннего кусочка, у нас получится три решения. А чуть только мы сдвинемся еще чуть ниже – уже 4. Определим значение параметра при касании, это начальная точка того интервала, который нас интересует.

Определить значение параметра в этом случае просто. Правое крыло «галки» описывается уравнением: . При касании ордината точки, принадлежащей параболе, и ордината точки, принадлежащей прямой, одинаковы, поэтому приравняем ординаты. Та часть параболы, которой касается прямая, описывается уравнением:

Тогда, приравняв ординаты, получим:

Если общая точка одна, то дискриминант будет равен 0:

Сама эта точка нас еще не устраивает, но значения параметра, большие , уже подходят нам. Выясним, до какого момента будем иметь 4 пересечения:

Рисунок 4. Три корня.

В показанном положении снова будем иметь три пересечения. В этот момент правое крыло «галки» проходит через точку , тогда

Итак, найден интервал решений: .

Однако, вдруг это еще не все решения? Сдвинем «галку» еще ниже:

Рисунок 5. Снова три корня.

Видим,  что снова, при прохождении левого крыла «галки» через точку , появились три корня. Небольшой сдвиг еще чуть ниже даст четыре корня, и эта ситуация нас устраивает, следовательно, имеем еще один интервал решений. Определим значение параметра. Левое крыло «галки» описывается уравнением:

Подставляем координаты точки в уравнение:

Сдвигаем «галку» еще ниже, и получаем касание:

Рисунок 6. Два пересечения и касание

Приравниваем ординаты:

Если общая точка одна, то дискриминант будет равен 0:

Полученное значение параметра нас уже не устраивает: при таком снова имеем три решения.

Вот и второй интервал:

Ответ: .