Задача с параметром и модулем

[latexpage]

Задачи с параметром – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Решение такой задачи – всегда исследование, всегда приключение. Тогда вперед, к приключениям!

Задача: Найти все значения параметра $p$, при каждом из которых уравнение

$$\mid x^2-36 \mid – 8 \mid x-p \mid +2p=0$$

Относительно переменной $x$ имеет ровно 4 решения.

Применим графическое решение. Запишем иначе:

$$\mid x^2-36 \mid = 8 \mid x-p \mid -2p$$

Слева имеем параболу, график которой, вследствие наличия модуля, располагается только в верхней полуплоскости, вся его «подводная» часть отражена вверх:

Рисунок 1. Парабола “в модуле”

Справа имеем «галочку», вершина этой галочки будет перемещаться по прямой $y=-2x$. То, что график выглядит, как «галка», понятно, но как была установлена траектория движения ее вершинки? А вот как:

$$y=8 \mid x-p \mid -2p$$

Модуль может быть раскрыт как с плюсом, так и с минусом в зависимости от знака подмодульного выражения:

$$\begin{Bmatrix}{ y=8( x-p) -2p }}\\{ y=8( p-x) -2p }\end{matrix}$$

Тогда

$$\begin{Bmatrix}{ y=8 x-8p -2p }}\\{ y=8p-8x -2p }\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ y=8x-10p}}\\{ y=6p-8x}\end{matrix}$$

Вычитаем уравнения:

$$16x=16p$$

$$ x = p $$

Тогда

$$y=8x-10x=-2x$$

Теперь исследуем полученную систему двух графиков. Нас устраивают случаи, когда «галка» 4 раза пересекает параболу. Начинаем двигать нашу галочку слева направо:

Рисунок 2. Галка спускается вниз. Два корня (два пересечения)

В указанном положении будем иметь два корня. Поэтому продолжаем двигать галку вниз:

Рисунок 3. Галка спускается ниже. Три корня (два пересечения и касание)

Когда «галка»  своим правым крылом коснется параболы, ее отраженного, внутреннего кусочка, у нас получится три решения. А чуть только мы сдвинемся еще чуть ниже – уже 4. Определим значение параметра при касании, это начальная точка того интервала, который нас интересует.

Определить значение параметра в этом случае просто. Правое крыло «галки» описывается уравнением: $y=8x-10p$. При касании ордината точки, принадлежащей параболе, и ордината точки, принадлежащей прямой, одинаковы, поэтому приравняем ординаты. Та часть параболы, которой касается прямая, описывается уравнением:

$$y=36-x^2$$

Тогда, приравняв ординаты, получим:

$$36-x^2=8x-10p$$

$$x^2+8x-10p-36=0$$

Если общая точка одна, то дискриминант будет равен 0:

$$D=b^2-4ac=64-4(-10p-36)=64+40p+144=0$$

$$40p=-208$$

$$p=-5,2$$

Сама эта точка нас еще не устраивает, но значения параметра, большие $-5,2$, уже подходят нам. Выясним, до какого момента будем иметь 4 пересечения:

Рисунок 4. Три корня.

В показанном положении снова будем иметь три пересечения. В этот момент правое крыло «галки» проходит через точку $(6;0)$, тогда

$$8x-10p=0$$

$$8 \cdot 6-10p=0$$

$$p=4,8$$

Итак, найден интервал решений: $p \in (-5,2; 4,8)$.

Однако, вдруг это еще не все решения? Сдвинем «галку» еще ниже:

Рисунок 5. Снова три корня.

Видим,  что снова, при прохождении левого крыла «галки» через точку $(6;0)$, появились три корня. Небольшой сдвиг еще чуть ниже даст четыре корня, и эта ситуация нас устраивает, следовательно, имеем еще один интервал решений. Определим значение параметра. Левое крыло «галки» описывается уравнением:

$$ y=6p-8x$$

Подставляем координаты точки в уравнение:

$$ 0=6p-8 \cdot 6$$

$$p=8$$

Сдвигаем «галку» еще ниже, и получаем касание:

Рисунок 6. Два пересечения и касание

Приравниваем ординаты:

$$36-x^2=6p-8x$$

$$x^2-8x+6p-36=0$$

Если общая точка одна, то дискриминант будет равен 0:

$$D=b^2-4ac=64-4(6p-36)=64-24p+144=0$$

$$24p=208$$

$$p=8\frac{2}{3}$$

Полученное значение параметра нас уже не устраивает: при таком $p$ снова имеем три решения.

Вот и второй интервал: $p \in (8; 8\frac{2}{3})$

Ответ: $p \in (-5,2; 4,8) \cup (8; 8\frac{2}{3})$.