Задача с параметром и модулем

Задачи с параметром – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Решение такой задачи – всегда исследование, всегда приключение. Тогда вперед, к приключениям!

Задача: Найти все значения параметра $p$ , при каждом из которых уравнение

$\mid x^2-36 \mid - 8 \mid x-p \mid +2p=0$

Относительно переменной $x$ имеет ровно 4 решения.

Применим графическое решение. Запишем иначе:

$\mid x^2-36 \mid = 8 \mid x-p \mid -2p$

Слева имеем параболу, график которой, вследствие наличия модуля, располагается только в верхней полуплоскости, вся его «подводная» часть отражена вверх:

Рисунок 1. Парабола “в модуле”

Справа имеем «галочку», вершина этой галочки будет перемещаться по прямой $y=-2x$ . То, что график выглядит, как «галка», понятно, но как была установлена траектория движения ее вершинки? А вот как:

$y=8 \mid x-p \mid -2p$

Модуль может быть раскрыт как с плюсом, так и с минусом в зависимости от знака подмодульного выражения:

$\begin{Bmatrix}{ y=8( x-p) -2p }}\\{ y=8( p-x) -2p }\end{matrix}$

Тогда

$\begin{Bmatrix}{ y=8 x-8p -2p }}\\{ y=8p-8x -2p }\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{ y=8x-10p}}\\{ y=6p-8x}\end{matrix}$

Вычитаем уравнения:

$16x=16p$

$x = p$

Тогда

$y=8x-10x=-2x$

Теперь исследуем полученную систему двух графиков. Нас устраивают случаи, когда «галка» 4 раза пересекает параболу. Начинаем двигать нашу галочку слева направо:

Рисунок 2. Галка спускается вниз. Два корня (два пересечения)

В указанном положении будем иметь два корня. Поэтому продолжаем двигать галку вниз:

Рисунок 3. Галка спускается ниже. Три корня (два пересечения и касание)

Когда «галка» своим правым крылом коснется параболы, ее отраженного, внутреннего кусочка, у нас получится три решения. А чуть только мы сдвинемся еще чуть ниже – уже 4. Определим значение параметра при касании, это начальная точка того интервала, который нас интересует.

Определить значение параметра в этом случае просто. Правое крыло «галки» описывается уравнением: $y=8x-10p$ . При касании ордината точки, принадлежащей параболе, и ордината точки, принадлежащей прямой, одинаковы, поэтому приравняем ординаты. Та часть параболы, которой касается прямая, описывается уравнением:

$y=36-x^2$

Тогда, приравняв ординаты, получим:

$36-x^2=8x-10p$

$x^2+8x-10p-36=0$

Если общая точка одна, то дискриминант будет равен 0:

$D=b^2-4ac=64-4(-10p-36)=64+40p+144=0$

$40p=-208$

$p=-5,2$

Сама эта точка нас еще не устраивает, но значения параметра, большие $-5,2$ , уже подходят нам. Выясним, до какого момента будем иметь 4 пересечения:

Рисунок 4. Три корня.

В показанном положении снова будем иметь три пересечения. В этот момент правое крыло «галки» проходит через точку $(6;0)$ , тогда

$8x-10p=0$

$8 \cdot 6-10p=0$

$p=4,8$

Итак, найден интервал решений: $p \in (-5,2; 4,8)$ .

Однако, вдруг это еще не все решения? Сдвинем «галку» еще ниже:

Рисунок 5. Снова три корня.

Видим, что снова, при прохождении левого крыла «галки» через точку $(6;0)$ , появились три корня. Небольшой сдвиг еще чуть ниже даст четыре корня, и эта ситуация нас устраивает, следовательно, имеем еще один интервал решений. Определим значение параметра. Левое крыло «галки» описывается уравнением:

$y=6p-8x$