Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Задача с параметром и логарифмом

Задачи с параметрами – одни из самых сложных в ЕГЭ. В школе такие задачи не изучают, или изучают поверхностно: самые простые и как правило на факультативах для наиболее сильных учеников. Однако освоить эти задачи можно, для этого, как и во всем, необходим опыт решения.

Задача. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

    \[\log_{-x+6} (a-10x)=2\]

Относительно величины x имеет 2 решения на промежутке x \in(-4;6).

Логарифм определен при

    \[\begin{Bmatrix}{ -x+6>0 }\\{ -x+6\neq 1}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ x<6 }\\{ x\neq 5}\end{matrix}\]

Тогда

    \[(6-x)^2=a-10x\]

    \[36-12x+x^2=a-10x\]

    \[36-2x+x^2=a\]

Построим в координатах y,x. При построении получим параболу и прямую, параллельную оси x. На параболе точку, соответствующую ординате x=5 выкалываем. Нужно найти такие значения a, когда прямая и парабола будут иметь два пересечения.

Парабола и пересекающая ее прямая

Если прямая пройдет через выколотую точку, то пересечение будет одно. Также при касании прямой и параболы (в вершине параболы) будем иметь один корень.

Вершина параболы располагается в точке с координатой -\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2}=1. В этой точке y=1^2-2+36=35.

Таким образом, нас начинают устраивать значения a, большие 35, но меньшие значения, когда прямая y=5 пройдет через выколотую точку.

Найдем, чему будет равно значение параметра при x=5 (выколотая точка):

    \[5^5-2\cdot5+36=51\]

Поднимаем нашу прямую выше, ведь после прохождения выколотой точки прямая и парабола вновь имеют два пересечения, что нас вполне устраивает. Так будет до тех пор, пока мы не достигнем краев промежутка. На краях промежутка имеем:

    \[y(-4)=4^2+2\cdot4+36=60\]

    \[y(6)=6^2-2\cdot6+36=60\]

Итак, при 51<a<60 также имеем два пересечения.

Ответ: a \in (35;51) \cup (51;60).

 

Для тренировки предлагаю такое же задание: найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

    \[\log_{\frac{-x+6}{2}} (a-\frac{10x}{3})=2\]

не имеет решений на промежутке x \in (-8;6).

Ответ: a \in (-\infty; -\frac{44}{9}] \cup {11} \cup [20; +\infty).

Комментариев - 2

  • Галина Сергеевна
    |

    А как же то условие, что а – 10х > 0

    Ответить
  • Галина Сергеевна
    |

    не комментируйте, поняла сама.

    Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *