Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Задача с параметром и двумя модулями

В этой задаче, если заметить симметрию относительно обеих переменных, то при решении можно обойтись “малой кровью” – решение сводится к определению уравнений прямых первого квадранта, а во все остальные картинку можно отразить симметрично.

Задача. Найти значения параметра a, при которых  решения неравенства

    \[(\mid x \mid+ \mid 4- \mid a \mid \mid-4)^2 \leqslant 4\]

принадлежат  отрезку  x \in [1;3].

Сразу обратимся к плоскости OXA. Обратим внимание на то, что знак модуля присутствует и в отношении переменной x, и переменная a также под знаком модуля. Поэтому если в решении есть пара (x;a), то и пары (-x;a), (x;-a), (-x;-a) тоже обязательно будут присутствовать в решении. А это означает, что, если будем рисовать картинку в плоскости OXA, то можно проработать первый квадрант, а в остальных все будет симметрично. Поэтому раскроем модули \mid x \mid и \mid a \mid с положительными знаками и посмотрим, что будет:

    \[( x+ \mid 4-  a \mid-4)^2 \leqslant 4\]

Теперь перепишем так:

    \[( x+ \mid 4-  a \mid-4)^2 -2^2\leqslant 0\]

И раскроем как разность квадратов:

    \[( x+ \mid 4-  a \mid-6)( x+ \mid 4-  a \mid-2)\leqslant 0\]

Линия излома графиков a=4 (приравниваем к нулю подмодульное выражение). Выше этой линии модуль раскроется со знаком «минус», а ниже – со знаком «плюс». Тогда имеем выше линии a=4:

    \[(x+a-10)(x+a-6) \leqslant 0\]

И

    \[a=10-x\]

    \[a=6-x\]

Ниже линии излома:

    \[(x-a-2)(x-a+2) \leqslant 0\]

И

    \[a=-2+x\]

    \[a=2+x\]

Строим в первом квадранте:

Рисунок 1. Построение в первом квадранте.

Строим в оставшихся квадрантах – просто отражаем симметрично построенные в первом квадранте прямые и заштриховываем область, в которой неравенство выполняется зеленым.  Чтобы удостовериться, что это действительно так, можно выбрать  любую точку в области между прямыми (закрашенной) и подставить ее координаты в неравенство, проверив, выполняется ли оно.

Рисунок 2. Отражение рисунка из первого во все остальные квадранты.

Теперь выделим отрезок x \in [1;3] коричневыми прямыми и выделим цветом те участки, где решения неравенства принадлежат  отрезку:

Рисунок 3. Выделение промежутка и определение значения параметра

После этого можно записывать ответ:

    \[a \in [-7;-5] \cup [-3;-1] \cup [1;3] \cup [5;7]\]

При оформлении подобного задания на ЕГЭ могу посоветовать все же вычислить полученные значения параметра, подставляя x=1 и x=3 в уравнения соответствующих прямых, полученные выше.

Ответ: a \in [-7;-5] \cup [-3;-1] \cup [1;3] \cup [5;7]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *