Задача с параметром – аналитическое решение.

Решим задачу  с параметром из ЕГЭ 2018 года. Можно было бы ее решать и графически, первое уравнение – некая подвижная окружность, второе – две пересекающиеся прямые. Но всегда нужно выбирать (по возможности) более простой путь.

Задача. Найти все значения параметра , при каждом из которых система

имеет ровно 4 различных решения.

Решение. Сразу видно, что второе уравнение раскладывается на множители:

Графическая интерпретация – две прямые, и . Но мы решим аналитически. Действительно, чтобы система имела 4 решения, нужно, чтобы каждое уравнение имело бы по два, или

Если каждая из систем будет иметь два решения, и эти решения не будут совпадать – вуаля, мы добились желаемого.

Сначала рассмотрим первую.

Подставим в первое уравнение .

Если , то левая часть ноль, а правая – нет. При система не имеет решений.

При

Это уравнение имеет два решения, если , а значит, .

Рассматриваем вторую систему, подставим в первое уравнение .

Если дискриминант больше ноля, то два решения будут:

Нам нужно, чтобы решения не совпадали, это возможно при , тогда

В итоге, объединяя все решения, получим:

Ответ: .