Задача с параметром – аналитическое решение.

[latexpage]

Решим задачу  с параметром из ЕГЭ 2018 года. Можно было бы ее решать и графически, первое уравнение – некая подвижная окружность, второе – две пересекающиеся прямые. Но всегда нужно выбирать (по возможности) более простой путь.

Задача. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых система

$$\begin{Bmatrix}{ ax^2+ay^2-(2a-5)x+2ay+1=0}\\{ x^2+y=xy+x}\end{matrix}$$

имеет ровно 4 различных решения.

Решение. Сразу видно, что второе уравнение раскладывается на множители:

$$x^2-x-xy+y=0$$

$$x(x-1)-y(x-1)=0$$

$$(x-y)(x-1)=0$$

Графическая интерпретация – две прямые, $x=1$ и $y=x$. Но мы решим аналитически. Действительно, чтобы система имела 4 решения, нужно, чтобы каждое уравнение имело бы по два, или

$$\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}{ ax^2+ay^2-(2a-5)x+2ay+1=0}\\{ x=1}\end{matrix}}\\{\begin{Bmatrix}{ ax^2+ay^2-(2a-5)x+2ay+1=0}\\{ y= x}\end{matrix}}\end{matrix}$$

Если каждая из систем будет иметь два решения, и эти решения не будут совпадать – вуаля, мы добились желаемого.

Сначала рассмотрим первую.

$$\begin{Bmatrix}{ ax^2+ay^2-(2a-5)x+2ay+1=0}\\{ x=1}\end{matrix}$$

Подставим в первое уравнение $x=1$.

$$a+ay^2-2a=5+2ay+1=0$$

$$ay^2-a+5+2ay+1=0$$

$$a(y^2+2y+1)-a-a+6=0$$

$$a(y+1)^2=2a-6$$

Если $a=0$, то левая часть ноль, а правая – нет. При $a=0$ система не имеет решений.

При $a\neq 0$

$$(y+1)^2=\frac{2a-6}{a}$$

Это уравнение имеет два решения, если $\frac{2a-6}{a}>0$, а значит, $a<0; a>3$.

Рассматриваем вторую систему, подставим в первое уравнение $x=y$.

$$\begin{Bmatrix}{ ax^2+ay^2-(2a-5)x+2ay+1=0}\\{ y= x}\end{matrix}$$

$$ax^2+ax^2-(2a-5)x+2ax+1=0$$

$$2ax^2+5x+1=0$$

Если дискриминант больше ноля, то два решения будут:

$$D=25-4\cdot 2a=25-8a>0$$

$$a<\frac{25}{8}$$

Нам нужно, чтобы решения не совпадали, это возможно при $x=y=1$, тогда

$$a+a-2a+5+2a+1=0$$

$$2a=-6$$

$$a=-3$$

В итоге, объединяя все решения, получим:

Ответ: $a \in (-\infty; -3)\cup(-3;0)\cup (3; 3,125)$.