Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (17 (С5))

Задача с параметром – аналитическое решение.

Решим задачу  с параметром из ЕГЭ 2018 года. Можно было бы ее решать и графически, первое уравнение – некая подвижная окружность, второе – две пересекающиеся прямые. Но всегда нужно выбирать (по возможности) более простой путь.

Задача. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система

    \[\begin{Bmatrix}{ ax^2+ay^2-(2a-5)x+2ay+1=0}\\{ x^2+y=xy+x}\end{matrix}\]

имеет ровно 4 различных решения.

Решение. Сразу видно, что второе уравнение раскладывается на множители:

    \[x^2-x-xy+y=0\]

    \[x(x-1)-y(x-1)=0\]

    \[(x-y)(x-1)=0\]

Графическая интерпретация – две прямые, x=1 и y=x. Но мы решим аналитически. Действительно, чтобы система имела 4 решения, нужно, чтобы каждое уравнение имело бы по два, или

    \[\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}{ ax^2+ay^2-(2a-5)x+2ay+1=0}\\{ x=1}\end{matrix}}\\{\begin{Bmatrix}{ ax^2+ay^2-(2a-5)x+2ay+1=0}\\{ y= x}\end{matrix}}\end{matrix}\]

Если каждая из систем будет иметь два решения, и эти решения не будут совпадать – вуаля, мы добились желаемого.

Сначала рассмотрим первую.

    \[\begin{Bmatrix}{ ax^2+ay^2-(2a-5)x+2ay+1=0}\\{ x=1}\end{matrix}\]

Подставим в первое уравнение x=1.

    \[a+ay^2-2a=5+2ay+1=0\]

    \[ay^2-a+5+2ay+1=0\]

    \[a(y^2+2y+1)-a-a+6=0\]

    \[a(y+1)^2=2a-6\]

Если a=0, то левая часть ноль, а правая – нет. При a=0 система не имеет решений.

При a\neq 0

    \[(y+1)^2=\frac{2a-6}{a}\]

Это уравнение имеет два решения, если \frac{2a-6}{a}>0, а значит, a<0; a>3.

Рассматриваем вторую систему, подставим в первое уравнение x=y.

    \[\begin{Bmatrix}{ ax^2+ay^2-(2a-5)x+2ay+1=0}\\{ y= x}\end{matrix}\]

    \[ax^2+ax^2-(2a-5)x+2ax+1=0\]

    \[2ax^2+5x+1=0\]

Если дискриминант больше ноля, то два решения будут:

    \[D=25-4\cdot 2a=25-8a>0\]

    \[a<\frac{25}{8}\]

Нам нужно, чтобы решения не совпадали, это возможно при x=y=1, тогда

    \[a+a-2a+5+2a+1=0\]

    \[2a=-6\]

    \[a=-3\]

В итоге, объединяя все решения, получим:

Ответ: a \in (-\infty; -3)\cup(-3;0)\cup (3; 3,125).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *