Задача с нарушенной схемой. Определение процента банка.

[latexpage]

В этой статье рассмотрим экономическую задачу из нового пособия 2021 года, 36 вариантов, под ред Ященко. Она интересна тем, что сочетает в себе две схемы выплаты кредита, и, кроме того, неизвестен процент банка.

Задача. В июле 2022 года планируется взять кредит в размере 220 тыс. руб. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на $r$% по сравнению с концом предыдущего года.

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.

— в июле 2023, 2024 и 2025 годов долг остается равным 220 тыс. руб.

— суммы выплат 2026 и 2027 годов равны.

Найдите $r$, если в 2027 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят 420 тыс. рублей.

Решение. Каждый год банк начисляет проценты за пользование кредитом. И три года подряд выплачиваются только эти проценты. То есть сумма, равная $S\cdot\frac{r}{100}=220\cdot \frac{r}{100}=2,2r$. За три первых года будет выплачено $6,6r$. Пока отложим эту сумму.

На начало 2026 года мы по-прежнему должны банку сумму $S$, равную 220 тысячам. Теперь она выплачивается равными платежами, пусть эта сумма – $x$.

На начало 2026 года сумма долга – $S=220$.
В январе банк начисляет процент, и сумма долга становится равной

$$S+\frac{r}{100}S=S\cdot\left(1+\frac{r}{100}\right)$$

После выплаты платежа – а мы договорились, что он равен $x$, мы останемся должны банку

$$ S\cdot\left(1+\frac{r}{100}\right)-x$$

И на этот остаток банк начисляет нам проценты:

$$ \left(S\cdot\left(1+\frac{r}{100}\right)-x\right) \cdot\left(1+\frac{r}{100}\right)$$

После начисления процентов мы вносим в банк сумму $x$, и более ничего не должны:

$$ \left(S\cdot\left(1+\frac{r}{100}\right)-x\right) \cdot\left(1+\frac{r}{100}\right)-x=0$$

Получили уравнение:

$$S\cdot\left(1+\frac{r}{100}\right)^2 =x +x \cdot\left(1+\frac{r}{100}\right) $$

Выразим $x$:

$$x=\frac{ S\cdot\left(1+\frac{r}{100}\right)^2 }{2+\frac{r}{100}}$$

Теперь, поскольку мы знаем, сколько было всего выплачено банку, составим еще одно уравнение:

$$6,6r+\frac{ 2S\cdot\left(1+\frac{r}{100}\right)^2 }{2+\frac{r}{100}}=420$$

Упрощаем:

$$6,6r\left(2+\frac{r}{100}\right)+440\cdot\left(1+\frac{r}{100}\right)^2 =420\cdot \left(2+\frac{r}{100}\right)$$

$$13,2r+\frac{6,6r^2}{100}+440\left(1+\frac{2r}{100}+\frac{r^2}{10000}\right)=840+4,2r$$

Получили:

$$\frac{11r^2}{100}+17,8r-400=0$$

Одним из корней будет $r=20$. Это и есть ответ (второй корень отрицателен).

Ответ: $r=20$.