Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Экономическая задача (17)

Задача с нарушенной схемой. Определение процента банка.

В этой статье рассмотрим экономическую задачу из нового пособия 2021 года, 36 вариантов, под ред Ященко. Она интересна тем, что сочетает в себе две схемы выплаты кредита, и, кроме того, неизвестен процент банка.

Задача. В июле 2022 года планируется взять кредит в размере 220 тыс. руб. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года.

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.

— в июле 2023, 2024 и 2025 годов долг остается равным 220 тыс. руб.

— суммы выплат 2026 и 2027 годов равны.

Найдите r, если в 2027 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят 420 тыс. рублей.

Решение. Каждый год банк начисляет проценты за пользование кредитом. И три года подряд выплачиваются только эти проценты. То есть сумма, равная S\cdot\frac{r}{100}=220\cdot \frac{r}{100}=2,2r. За три первых года будет выплачено 6,6r. Пока отложим эту сумму.

На начало 2026 года мы по-прежнему должны банку сумму S, равную 220 тысячам. Теперь она выплачивается равными платежами, пусть эта сумма – x.

На начало 2026 года сумма долга – S=220.
В январе банк начисляет процент, и сумма долга становится равной

    \[S+\frac{r}{100}S=S\cdot\left(1+\frac{r}{100}\right)\]

После выплаты платежа – а мы договорились, что он равен x, мы останемся должны банку

    \[S\cdot\left(1+\frac{r}{100}\right)-x\]

И на этот остаток банк начисляет нам проценты:

    \[\left(S\cdot\left(1+\frac{r}{100}\right)-x\right) \cdot\left(1+\frac{r}{100}\right)\]

После начисления процентов мы вносим в банк сумму x, и более ничего не должны:

    \[\left(S\cdot\left(1+\frac{r}{100}\right)-x\right) \cdot\left(1+\frac{r}{100}\right)-x=0\]

Получили уравнение:

    \[S\cdot\left(1+\frac{r}{100}\right)^2 =x +x \cdot\left(1+\frac{r}{100}\right)\]

Выразим x:

    \[x=\frac{ S\cdot\left(1+\frac{r}{100}\right)^2 }{2+\frac{r}{100}}\]

Теперь, поскольку мы знаем, сколько было всего выплачено банку, составим еще одно уравнение:

    \[6,6r+\frac{ 2S\cdot\left(1+\frac{r}{100}\right)^2 }{2+\frac{r}{100}}=420\]

Упрощаем:

    \[6,6r\left(2+\frac{r}{100}\right)+440\cdot\left(1+\frac{r}{100}\right)^2 =420\cdot \left(2+\frac{r}{100}\right)\]

    \[13,2r+\frac{6,6r^2}{100}+440\left(1+\frac{2r}{100}+\frac{r^2}{10000}\right)=840+4,2r\]

Получили:

    \[\frac{11r^2}{100}+17,8r-400=0\]

Одним из корней будет r=20. Это и есть ответ (второй корень отрицателен).

Ответ: r=20.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *