Задача про желоб

Задача звучит так: имеется желоб с сечением в виде равнобедренной трапеции, боковые стенки и основание – по 10 см. Каким должен быть верхний открытый край желоба, чтобы его вместимость была бы максимальной?

Решение.

Понятно, что необходимо добиться максимальной площади сечения такого желоба, тогда и объем его будет максимален. Если стенки сильно развернуть от основания, желоб будет мелким. Если стенки будут вертикальны, то это уже будет, во-первых, не трапеция, во-вторых, будет ли такое сечение максимальным по площади?

Давайте разберемся.

Запишем формулу площади сечения этой трапеции – произведение полусуммы оснований на высоту. Полусумма оснований: $\frac{a+10}{2}$

Высота, полученная по теореме Пифагора:

$h=\sqrt{10^2-\left(\frac{a-10}{2}\right)^2}$

Площадь трапеции:

$S=\frac{a+10}{2}\cdot\sqrt{10^2-\left(\frac{a-10}{2}\right)^2}$

$S=\frac{a+10}{2}\cdot\sqrt{10^2-\left(\frac{a}{2}-5\right)^2}$

Раскроем скобки:

$S=\frac{a+10}{2}\cdot\sqrt{100-\left(\frac{a^2}{4}-5a+25\right)^2}$

$S=\frac{a+10}{2}\cdot\sqrt{75-\frac{a^2}{4}+5a}$

Чтобы определить максимум данной функции, возьмем производную:

$S^{\prime}=\left(\frac{a}{2}+5\right)^{\prime}\sqrt{75-\frac{a^2}{4}+5a}+\frac{a+10}{2}\cdot\left\left(75-\frac{a^2}{4}+5a\right)^{\frac{1}{2}}\right){\prime}$