Задача про желоб

Задача звучит так: имеется желоб с сечением в виде равнобедренной трапеции, боковые стенки и основание – по 10 см. Каким должен быть верхний открытый край желоба, чтобы его вместимость была бы максимальной?

Решение.

Понятно, что необходимо добиться максимальной площади сечения такого желоба, тогда и объем его будет максимален. Если стенки сильно развернуть от основания, желоб будет мелким. Если стенки будут вертикальны, то это уже будет, во-первых, не трапеция, во-вторых, будет ли такое сечение максимальным по площади?

Давайте разберемся.

Запишем формулу площади сечения этой трапеции – произведение полусуммы оснований на высоту. Полусумма оснований:  

Высота, полученная по теореме Пифагора:

Площадь трапеции:

Раскроем скобки:

Чтобы определить максимум данной функции, возьмем производную:

Приравняем к нулю производную и найдем экстремум:

Таким образом, площадь желоба максимальна, когда он представляет собой равнобокую  трапецию с верхним основанием, равным 20.