Задача про желоб

Задача звучит так: имеется желоб с сечением в виде равнобедренной трапеции, боковые стенки и основание – по 10 см. Каким должен быть верхний открытый край желоба, чтобы его вместимость была бы максимальной?

[latexpage]

Решение.

Понятно, что необходимо добиться максимальной площади сечения такого желоба, тогда и объем его будет максимален. Если стенки сильно развернуть от основания, желоб будет мелким. Если стенки будут вертикальны, то это уже будет, во-первых, не трапеция, во-вторых, будет ли такое сечение максимальным по площади?

Давайте разберемся.

Запишем формулу площади сечения этой трапеции – произведение полусуммы оснований на высоту. Полусумма оснований:  $\frac{a+10}{2}$

Высота, полученная по теореме Пифагора:

$$h=\sqrt{10^2-\left(\frac{a-10}{2}\right)^2}$$

Площадь трапеции:

$$S=\frac{a+10}{2}\cdot\sqrt{10^2-\left(\frac{a-10}{2}\right)^2}$$

$$S=\frac{a+10}{2}\cdot\sqrt{10^2-\left(\frac{a}{2}-5\right)^2}$$

Раскроем скобки:

$$S=\frac{a+10}{2}\cdot\sqrt{100-\left(\frac{a^2}{4}-5a+25\right)^2}$$

$$S=\frac{a+10}{2}\cdot\sqrt{75-\frac{a^2}{4}+5a}$$

Чтобы определить максимум данной функции, возьмем производную:

$$S^{\prime}=\left(\frac{a}{2}+5\right)^{\prime}\sqrt{75-\frac{a^2}{4}+5a}+\frac{a+10}{2}\cdot\left\left(75-\frac{a^2}{4}+5a\right)^{\frac{1}{2}}\right){\prime}$$

$$S^{\prime}=\frac{1}{2}\sqrt{75-\frac{a^2}{4}+5a}+\frac{a+10}{2}\cdot\frac{1}{2}\frac{-\frac{a}{2}+5}{\sqrt{75-\frac{a^2}{4}+5a}}$$

Приравняем к нулю производную и найдем экстремум:

$$\frac{1}{2}\sqrt{75-\frac{a^2}{4}+5a}+\frac{a+10}{2}\cdot\frac{1}{2}\frac{-\frac{a}{2}+5}{\sqrt{75-\frac{a^2}{4}+5a}}=0$$

$$\sqrt{75-\frac{a^2}{4}+5a}+\cdot\frac{25-\frac{a^2}{4}}{\sqrt{75-\frac{a^2}{4}+5a}}=0$$

$$75-\frac{a^2}{4}+5a=\frac{a^2}{4}-25$$

$$\frac{a^2}{2}-5a-100=0$$

$$D=25+4\cdot100\cdot\frac{1}{2}=225$$

$$a=5 \pm 15=20$$

Таким образом, площадь желоба максимальна, когда он представляет собой равнобокую  трапецию с верхним основанием, равным 20.