Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Задача про желоб

Задача звучит так: имеется желоб с сечением в виде равнобедренной трапеции, боковые стенки и основание – по 10 см. Каким должен быть верхний открытый край желоба, чтобы его вместимость была бы максимальной?


Решение.

Понятно, что необходимо добиться максимальной площади сечения такого желоба, тогда и объем его будет максимален. Если стенки сильно развернуть от основания, желоб будет мелким. Если стенки будут вертикальны, то это уже будет, во-первых, не трапеция, во-вторых, будет ли такое сечение максимальным по площади?

Давайте разберемся.

Запишем формулу площади сечения этой трапеции – произведение полусуммы оснований на высоту. Полусумма оснований:  \frac{a+10}{2}

Высота, полученная по теореме Пифагора:

    \[h=\sqrt{10^2-\left(\frac{a-10}{2}\right)^2}\]

Площадь трапеции:

    \[S=\frac{a+10}{2}\cdot\sqrt{10^2-\left(\frac{a-10}{2}\right)^2}\]

    \[S=\frac{a+10}{2}\cdot\sqrt{10^2-\left(\frac{a}{2}-5\right)^2}\]

Раскроем скобки:

    \[S=\frac{a+10}{2}\cdot\sqrt{100-\left(\frac{a^2}{4}-5a+25\right)^2}\]

    \[S=\frac{a+10}{2}\cdot\sqrt{75-\frac{a^2}{4}+5a}\]

  

Чтобы определить максимум данной функции, возьмем производную:

    \[S^{\prime}=\left(\frac{a}{2}+5\right)^{\prime}\sqrt{75-\frac{a^2}{4}+5a}+\frac{a+10}{2}\cdot\left\left(75-\frac{a^2}{4}+5a\right)^{\frac{1}{2}}\right){\prime}\]

    \[S^{\prime}=\frac{1}{2}\sqrt{75-\frac{a^2}{4}+5a}+\frac{a+10}{2}\cdot\frac{1}{2}\frac{-\frac{a}{2}+5}{\sqrt{75-\frac{a^2}{4}+5a}}\]

Приравняем к нулю производную и найдем экстремум:

    \[\frac{1}{2}\sqrt{75-\frac{a^2}{4}+5a}+\frac{a+10}{2}\cdot\frac{1}{2}\frac{-\frac{a}{2}+5}{\sqrt{75-\frac{a^2}{4}+5a}}=0\]

    \[\sqrt{75-\frac{a^2}{4}+5a}+\cdot\frac{25-\frac{a^2}{4}}{\sqrt{75-\frac{a^2}{4}+5a}}=0\]

    \[75-\frac{a^2}{4}+5a=\frac{a^2}{4}-25\]

    \[\frac{a^2}{2}-5a-100=0\]

    \[D=25+4\cdot100\cdot\frac{1}{2}=225\]

    \[a=5 \pm 15=20\]

Таким образом, площадь желоба максимальна, когда он представляет собой равнобокую  трапецию с верхним основанием, равным 20.

 



Комментариев - 2

  • Антоша
    |

    Площадь максимальна при 20. Решал через производную.

    Ответить
    • Анна
      |

      Действительно, вы правы.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *