Задача про воздушный шарик

[latexpage]

Сложная задача про шарик с тянущейся за ним веревкой.

Задача. Наполненный гелием воздушный шарик почти идеальной сферической формы, если его отпустить в безветренную погоду, будет подниматься вверх со скоростью, постепенно достигающей величины $\upsilon = 3$   м/с. Если привязать к нему кусок тонкой гибкой нерастяжимой однородной  веревки, то шарик сможет подниматься вверх, если длина куска не превышает $l = 50$ см. К шарику привязали кусок такой же веревки длиной $L = 1,5$ м и расстелили нижний конец веревки на горизонтальной поверхности. Коэффициент трения между веревкой и поверхностью $\mu = 0,5$. С какой скоростью будет в установившемся режиме  двигаться шарик с прикрепленной веревкой при ветре, дующем вдоль поверхности со скоростью $u =2,5$ м/с?

Задача про шарик

На какой высоте $h$ над поверхностью будет двигаться верхний конец веревки? Воздействием ветра на веревку пренебречь. Сила сопротивления воздуха, действующая на шар, пропорциональна квадрату его скорости относительно воздуха.

Решение. Отпускаем шарик в безветренную погоду:

$$F_c+ mg=F_A$$

$$k\upsilon^2= F_A-mg$$

Шарик в безветренную погоду

Пусть $\lambda$ – линейная плотность веревки.

$$\lambda=\frac{m}{l}$$

По второму закону Ньютона

$$\lambda l g+mg=F_A$$

$$\lambda l g=k\upsilon^2$$

Шарик с короткой веревкой поднимается

Пусть ветер вправо. Относительно ветра скорость шарика влево, поэтому сила сопротивления вправо. (Переходим в СО ветра).

Скорости ветра, шарика, шарика относительно ветра

Шарик с длинной веревкой

$$F_c=T_x$$

$$mg-F_A+T_y=0$$

$T_x$ и $T_y$  – в разных точках разные, так как веревка весомая.

$$T_y= F_A-mg= k\upsilon^2$$

$$T_x= k\upsilon_{sh_v}^2$$

$\upsilon_{sh_v}$ – скорость шарика относительно ветра.

Силы на веревку

$m_2$ – масса провисающего куска веревки длиной 50 см.

$$T_x=T_0$$

$$T_y=m_2g$$

$$\lambda l g=m_2g$$

Откуда и следует, что длина провисающего куска – 50 см.

$$F_{tr}=\mu N=\mu \lambda (L-l)g$$

Имеем, с одной стороны,

$$\lambda l g=k\upsilon^2$$

С другой

$$ k\upsilon_{sh_v}^2=\mu \lambda (L-l)g$$

Разделим эти уравнения:

$$\upsilon_{sh_v}^2=\upsilon^2\frac{\mu(L-l)}{l}$$

$$\upsilon_{sh_v}=\upsilon\sqrt{\frac{\mu(L-l)}{l}}$$

$$\upsilon_{sh_v}=3\sqrt{\frac{0,5\cdot 1}{0,5}}=3$$

Но скорость ветра равна 2,5 м/с, значит, скорость шарика относительно земли 0,5 м/с. Получили противоречие. Значит, шарик в покое.

$$F_c=ku^2$$

Теперь ответим на второй вопрос задачи.

Силы на веревку

Сила $T_0$ равна силе сопротивления – мы ее нашли ранее.

$$T_1=\sqrt{F_c^2+m_v^2g^2}$$

$ m_v$ – масса веревки.

Разобьем веревку на малые отрезки и рассмотрим один из них.

Малый кусочек веревки

$$Ox: (T+\Delta T)\cos(\varphi+\Delta \varphi)=T\cos\varphi$$

$$Oy: (T+\Delta T)\sin(\varphi+\Delta \varphi)= T\sin\varphi+\Delta mg$$

$$Ox: (T+\Delta T)(\cos\varphi\cos \Delta \varphi-\sin\varphi\sin \Delta\varphi)-T\cos\varphi=0$$

$$\cos \Delta \varphi \rightarrow 1$$

$$\sin \Delta\varphi\rightarrow\Delta \varphi$$

Перепишем:

$$-T\sin\varphi \Delta\varphi+\Delta T\cos\varphi – \Delta T\sin\varphi\sin \Delta\varphi=0$$

Последнее слагаемое – $\Delta T\sin\varphi\sin \Delta\varphi$ – второго порядка малости, им можно пренебречь.

Имеем:

$$ T\sin\varphi \Delta\varphi=\Delta T\cos\varphi~~~~~~~~~~~~~(1)$$

$$Oy: (T+\Delta T)(\sin\varphi \cos\Delta \varphi+\sin \Delta \varphi \cos \varphi)- T\sin\varphi-\Delta mg=0$$

$$\cos\Delta \varphi \rightarrow 1$$

$$\sin \Delta \varphi\rightarrow\Delta \varphi$$

Переписываем:

$$T \Delta \varphi \cos \varphi+\Delta T\sin\varphi+\Delta T\Delta \varphi\cos \varphi+\Delta mg=0$$

Величина $\Delta T\Delta \varphi\cos \varphi$ – второго порядка малости, пренебрежем ею.

$$T \Delta \varphi \cos \varphi+\Delta T\sin\varphi-\Delta mg=0$$

Малая масса рассматриваемого кусочка равна

$$\Delta m=\frac{\Delta l}{l}m=\lambda \Delta l$$

Малый угол $\Delta \varphi$ определим из (1):

$$\Delta \varphi=\frac{\Delta T\cos \varphi }{ T\sin\varphi }$$

Подставим в последнее:

$$\frac{\Delta T\cos^2 \varphi }{ \sin\varphi }+\Delta T\sin\varphi-\lambda \Delta l g=0$$

Домножим на $\sin\varphi$:

$$\Delta T\cos^2 \varphi +\Delta T\sin^2\varphi-\lambda \Delta l g\sin\varphi =0$$

$$\Delta T(\cos^2 \varphi +\sin^2\varphi)-\lambda \Delta l g\sin\varphi =0$$

$$\Delta T=\lambda \Delta l g\sin\varphi $$

$$\Delta T=\lambda  g \Delta h$$

Суммируя, получаем

$$T_1-T_0=\lambda  g h$$

$$h=\frac{ T_1-T_0}{\lambda  g }$$

Можно было воспользоваться методом виртуальных перемещений:

Метод виртуальных перемещений

Работа всех сил равна изменению энергии малого переносимого кусочка.

$$-T_0\Delta x+T_1\Delta x=\lambda \Delta x gh$$

$\lambda \Delta x$ – масса переносимого кусочка, $\Delta x$ – его длина.

$$T_1-T_0=\lambda  g h$$

$$h=\frac{ T_1-T_0}{\lambda  g }$$

Приведем к окончательному ответу:

$$h=\frac{ T_1-T_0}{\lambda  g }=\frac{ T_1-T_0}{k\upsilon^2}l=l\left\frac{\sqrt{k^2u^4+k^2\upsilon^4}- k u^2}{ k\upsilon^2}\right = l\left({\sqrt{\frac{u^4}{\upsilon^4}+1}- \frac{u^2}{ \upsilon^2}\right) $$

Ответ: нулевая скорость; $h= l\left({\sqrt{\frac{u^4}{\upsilon^4}+1}- \frac{u^2}{ \upsilon^2}\right)$