Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Влажность, Уравнение Менделеева-Клапейрона

Задача про влажный воздух и песок

Задача на тему «влажность», а также тему «состояние идеального газа», использовать будем уравнение Менделеева-Клапейрона, и второй закон Ньютона – задача содержит элементы механики.

Задача. В гладком вертикальном цилиндре под невесомым поршнем при температуре t=100^{\circ} находится воздух с относительной влажностью 20%. На поршень медленно насыпают песок. Чему равна масса песка, насыпанного на поршень, когда объем цилиндра под поршнем уменьшился в 6 раз, а на стенках цилиндра выступила роса массой m=0,2 г? Температура постоянна. Атмосферное давление нормальное. Высота поршня над дном сосуде в начале процесса равна H=2 м.

Решение.

Давайте рассуждать.  Во-первых, сначала давление в сосуде, очевидно, было атмосферным. Оно создавалось воздухом и паром: их парциальные давления складывались и в сумме были равны атмосферному.

    \[p_1=p_0=p_{para}+p_{vozd}\]

Давление пара мы можем найти: ведь насыщенный пар при такой температуре создает атмосферное давление, значит, при относительной влажности в 20% пар создавал давление 0,2p_0:

    \[\varphi=\frac{ p_{para}}{p_0}\]

    \[p_{para}=\varphi \cdot p_0=0,2p_0\]

Тогда, получается, давление воздуха в сосуде в самом начале было равно

    \[p_{vozd}=p_0- p_{para}=p_0-0,2p_0=0,8p_0\]

Теперь рассмотрим наш сосуд в конце процесса. Сверху давит песок и атмосфера.

    \[p_2=p_0+\frac{Mg}{S}\]

M – масса песка.

Внутри – насыщенный пар (выпала роса) и сжатый воздух. Тогда пар будет создавать давление, равное атмосферному, а воздух согласно закону Бойля-Мариотта (температура не менялась) будет иметь давление

    \[p_{vozd}\cdot V= p_{vozd}' \frac{V}{6}\]

    \[p_{vozd}'=6 p_{vozd}=6\cdot0,8 p_0=4,8p_0\]

Таким образом,

    \[p_2= p_0+\frac{mg}{S}=p_0+4,8p_0\]

Или

    \[\frac{Mg}{S}=4,8p_0\]

Дело за малым – найти площадь поршня. У нас еще есть сведения, что выпало 0,2 г росы. То есть вначале процесса для пара можно было записать

    \[p_{para}V=\frac{m_1}{\mu}RT\]

А в конце

    \[p_{para}'\cdot \frac{V}{6}=\frac{m_2}{\mu}RT\]

Здесь p_{para}'=p_0, \mu – молярная масса воды, m_1 – масса пара вначале процесса, m_2 – масса пара после выпадения росы.

Тогда

    \[\Delta m=m_1-m_2=\frac{ p_{para}V \mu}{RT}-\frac{ p_{para}'\cdot \frac{V}{6} \mu}{RT}=\frac{p_0\mu}{RT}\cdot\left(0,2V-\frac{V}{6}\right)= \frac{p_0\mu V}{30RT}=\frac{p_0\mu SH}{30RT}\]

Теперь выразим сечение:

    \[S=\frac{30RT\Delta m}{p_0\mu H}\]

Наконец, определяем массу песка:

    \[M=\frac{4,8p_0S}{g}=\frac{4,8p_0}{g}\cdot\frac{30RT\Delta m}{p_0\mu H}=\frac{30RT\Delta m \cdot4,8}{g \mu H}=\frac{30\cdot8,31\cdot373\cdot2\cdot10^{-4}\cdot4,8}{10 \cdot0,018\cdot 2}=247,9\]

Ответ: 248 кг песка.

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *