Задача про стержень и две бусинки

[latexpage]

Еще несколько задач на кинематику. Задачи для подготовки к олимпиадам.

Задача. Стержень согнули под углом $90^{\circ}$ и расположили так, что одна из сторон получившегося угла вертикальна, вторая горизонтальна. На каждую сторону угла надели маленькие массивные бусинки массами $m$ и $2m$ и соединили их невесомым стержнем длиной $l$. В начальный момент стержень вертикален. Затем от малого толчка он приходит в движение и бусинки скользят по сторонам угла. Найти максимальную скорость нижней бусинки в процессе последующего движения.

Стержень и две массивные бусинки

Решение. Запишем закон сохранения энергии:

$$mgl=mgl\sin \alpha+\frac{m\upsilon_1^2}{2}+\frac{2m\upsilon_2^2}{2}$$

Проекции скоростей на стержень одинаковы

По закону палочки проекции скоростей обеих бусинок на стержень равны:

$$\upsilon_1\sin \alpha=\upsilon_2 \cos \alpha$$

$$\upsilon_1=\frac{\upsilon_2 \cos \alpha }{\sin \alpha }=\upsilon_2\operatorname{ctg}\alpha$$

Подставим этот результат в закон сохранения:

$$gl-gl\sin \alpha=\frac{(\upsilon_2\operatorname{ctg}\alpha)^2+2\upsilon_2^2}{2}$$

$$gl-gl\sin \alpha=\upsilon_2^2\frac{(\operatorname{ctg}\alpha)^2+2}{2}$$

Помня, что
$$(\operatorname{ctg}\alpha)^2=\frac{1}{\sin^2\alpha}-1$$

Имеем:

$$gl(1-\sin \alpha)=\upsilon_2^2\frac{\frac{1}{\sin^2\alpha}+1}{2}$$

$$2gl(1-\sin \alpha)=\upsilon_2^2\left(\frac{1}{\sin^2\alpha}+1\right)$$

$$2gl(1-\sin \alpha)=\upsilon_2^2\cdot\frac{1+\sin^2\alpha }{\sin^2\alpha}$$

$$\upsilon_2^2=\frac{1+\sin^2\alpha }{2gl\sin^2\alpha (1-\sin \alpha)}$$

Чтобы найти максимальную скорость, продифференцируем:

$$(\upsilon_2^2)’=\frac{2\sin \alpha\cos \alpha( 2gl\sin^2\alpha(1-\sin \alpha))-

(1+\sin^2 \alpha)\cdot gl\cdot(4\sin \alpha \cos\alpha(1-\sin\alpha)-2\sin^2\alpha\cos \alpha))}{ 4g^2l^2\sin^4\alpha (1-\sin \alpha)^2}=0$$

Дробь равна нулю, если у нее равен нулю числитель (сократим сразу же на $2\sin \alpha\cos \alpha$ и на $gl)$:

$$2\sin^2\alpha(1-\sin \alpha))- (1+\sin^2 \alpha)(2(1-\sin \alpha)-\sin \alpha)=0$$

$$2\sin^2\alpha-2\sin^3\alpha-(1+\sin^2 \alpha)(2-3\sin \alpha)=0$$

$$2\sin^2\alpha-2\sin^3\alpha-2+3\sin \alpha+2\sin^2\alpha +3\sin^3\alpha =0$$

$$\sin^3\alpha+4\sin^2\alpha+3\sin\alpha-2=0$$

Разделим на $\sin \alpha+2$:

$$\sin^2\alpha+2\sin\alpha-1=0$$

Корнем уравнения является $\sin\alpha=\sqrt{2}-1$.

Тогда

$$\cos^2 \alpha=1-\sin^2\alpha=1-2+2\sqrt{2}-1$$

$$\cos^2 \alpha=2\sqrt{2}-2$$

$$\cos \alpha=\sqrt{2\sqrt{2}-2}$$

Тогда

$$\operatorname{ctg}\alpha=\sqrt{2}$$

Получаем, что

$$\upsilon_1^2=2\upsilon_2^2$$

Подставляем в закон сохранения энергии:

$$gl(1-\sin\alpha)=\frac{\upsilon_1^2}{2}+\upsilon_2^2=2\upsilon_2^2$$

$$\upsilon_2^2=\frac{ gl(1-\sin\alpha)}{2}$$

$$\upsilon_2^2=\frac{ gl}{2}(1-\sqrt{2}+1)$$

$$\upsilon_2^2 = gl \frac{ 2-\sqrt{2}}{2}$$

$$\upsilon_2 = 0,54\sqrt{gl}$$

Ответ: $\upsilon_2 = 0,54\sqrt{gl}$.