Задача про Сашу и Пашу

[latexpage]

В этой статье решим единственную задачу: про разные схемы возврата кредита. Один человек отдает равными долями, а второй – равными, но меньшими, и в конце выплачивает весь остаток одним большим платежом. Посмотрим, что выгоднее. Задача из варианта А. Ларина №301.

Задача. 15‐го декабря 2018 года Саша и Паша взяли в банке одинаковые суммы в кредит на 12 месяцев. Банк предложил им похожие схемы погашения долга.

Условия возврата кредита у Саши оказались следующие:

— 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2‐го по 14‐е число месяца необходимо выплачивать одним платежом часть долга;

— на 15‐е числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга, чем на 15‐е число предыдущего месяца.

У Паши условия возврата кредита были таковы:

— 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2‐го по 14‐е число месяца необходимо выплачивать одним платежом часть долга;

— на 15‐е число каждого месяца с января по ноябрь включительно долг должен уменьшаться на 50 тыс. руб.;

— в декабре 2019 года весь оставшийся на тот момент долг должен быть полностью погашен.

Когда в декабре 2019 года Саша и Паша рассчитались со своими кредитами, выяснилось, что один из них выплатил за год банку на 429 тыс. руб. больше, нежели другой. Определите, какая сумма была взята каждым в кредит.

Решение.

Саша платит по обыкновенной схеме для дифференцированного платежа. Составим для него таблицу:

Схема выплат Саши

Тогда все, что выплатил Саша ($A_1$)– это вся сумма долга $S$ плюс проценты. Сложим все в графе «процент», добавим сумму долга и получим:

$$A_1=S+\frac{Sr}{100}\cdot\left(1+\frac{11}{12}+\frac{10}{12}+…+\frac{1}{12}\right)= S+\frac{Sr}{100}\cdot\frac{1+\frac{1}{12}}{2}\cdot12$$

$$A_1= S+\frac{Sr}{100}\cdot6,5= S+\frac{S\cdot10}{100}\cdot6,5=1,65S$$

Теперь сделаем расчет для Паши. Паша платит по той же схеме, но суммами по 50 тысяч, и в конце одним махом выплачивает весь остаток долга:

Схема выплат Паши

Тогда все, что выплатил Паша ($A_2$) – это сумма, взятая в долг плюс проценты:

$$A_2=S+\frac{r}{100}\cdot(S+S-50+S-100+S-150… +S-550)=S+\frac{r}{100}\cdot(12S-3300)=S+1,2S-330=2,2S-330$$

По условию задачи мы знаем, что один из молодых людей заплатил в итоге больше на 429 тыс. рублей. Мы не знаем точно, кто, но можем предположить, что это был Паша. Тогда

$$2,2S-330-429=1,65S$$

$$0,55S=729$$

$$S=\frac{729}{0,55}=1380$$

Так как сумма, взятая в кредит, получилась положительной, значит, мы угадали и действительно, Паша заплатил больше. Если бы получилось отрицательное число, мы бы сделали вывод, что мы не угадали, Саша заплатил больше и переписали бы уравнение.

Ответ: 1,38 млн.