Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение с постоянной скоростью, Текстовые задачи (11)

Задача про поезд и велосипедиста

Задачу подкинули знакомые, она показалась мне интересной, поэтому привожу ее решение.

Задача. Каждый день в одно и то же время со станции Авдеевки по направлению к  деревне Георгиевке отправляется поезд, и в то же время из Георгиевки в сторону Авдеевки вдоль железнодорожных путей выезжает велосипедист. Проехав некоторое расстояние, велосипедист останавливается на отдых  и через 19 минут после остановки мимо него проезжает поезд. Однажды велосипедист проехал на 12 минут дольше, чем обычно, поэтому встретил поезд через три минуты после остановки, а на следующий день проехал  обычное время, но на 1 км/ч быстрее, и встретил поезд через 16 минут после остановки. Чему равно время в минутах, которое обычно тратит велосипедист на путь до остановки, если расстояние между деревней и  станцией 168,8 км?

Пусть скорость поезда равна \upsilon_0, а скорость велосипедиста – \upsilon. Тогда в первом случае скорость сближения поезда и велосипедиста равна \upsilon_0+\upsilon, и сближаются они время t, которое является искомым. Таким образом они покрывают расстояние, равное (\upsilon_0+\upsilon )t. Потом, по истечении этого времени, велосипедист отдыхает, и поезд покрывает оставшееся расстояние в одиночку, и преодолевает 19\upsilon_0, а два эти расстояния в сумме – как раз расстояние между Георгиевкой и Авдеевкой:

    \[(\upsilon_0+\upsilon )t+19\upsilon_0=168,8\]

Во втором случае скорость сближения велосипедиста и поезда та же, но время больше на 12 минут, поэтому они проедут вместе расстояние (\upsilon_0+\upsilon )(t+12), а потом поезд проедет до встречи с велосипедистом еще 3\upsilon_0:

    \[(\upsilon_0+\upsilon )(t+12)+3\upsilon_0=168,8\]

Наконец, в последнем случае скорость велосипедиста больше обычной и равна  \upsilon +\frac{1}{60}, поэтому скорость сближения велосипедиста и поезда равна(\upsilon_0+\upsilon +\frac{1}{60}). Тогда за искомое время t они преодолевают расстояние (\upsilon_0+\upsilon +\frac{1}{60})t. Остаток расстояния до встречи тогда равен 16\upsilon_0.

    \[(\upsilon_0+\upsilon +\frac{1}{60})t+16\upsilon_0=168,8\]

Получили систему:

    \[\begin{Bmatrix}{ (\upsilon_0+\upsilon )t+19\upsilon_0=168,8}\\{}\\{ (\upsilon_0+\upsilon )(t+12)+3\upsilon_0=168,8}\\{}\\{ (\upsilon_0+\upsilon +\frac{1}{60})t+16\upsilon_0=168,8}\\{}\end{matrix}\]

Вычтем из первого уравнения третье, тогда получим:

    \[3\upsilon_0=\frac{t}{60}\]

Или

    \[\upsilon_0=\frac{t}{180}\]

Теперь подставим это в первое уравнение:

    \[\upsilon_0\cdot t+\upsilon\cdot  t+19\upsilon_0=168,8\]

    \[\frac{t}{180}(t+19)+ \upsilon\cdot  t=168,8\]

Откуда

    \[\upsilon=\frac{168,8}{t}-\frac{19+t}{180}\]

Теперь обе скорости подставим во второе уравнение нашей системы:

    \[\left(\frac{t}{180}+\frac{168,8}{t}-\frac{19+t}{180}\right)(t+12)+\frac{3t}{180}=168,8\]

Упрощаем:

    \[-\frac{16t}{180}+\frac{12\cdot168,8}{t}-\frac{12\cdot19}{180}=0\]

    \[-\frac{4t}{45}+\frac{12\cdot168,8}{t}-\frac{19}{15}=0\]

Домножим на -45t:

    \[4t^2-12\cdot168,8\cdot45+57t=0\]

Числа ужасны, но все-таки это обычное квадратное уравнение. Решим его.

    \[D=57^2+4\cdot12\cdot168,8\cdot45\cdot4=1461681=1209^2\]

    \[t=\frac{-57+1209}{8}=144\]

Второй корень отрицателен, его не рассматриваем.

Ответ: 144 минуты.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *