Попалась мне интересная задачка, как обычно, с учеником. Ученик из 239 школы. А задача из Московской олимпиады за 2012 год. Решение мое не дало того ответа в общем виде, который приведен на сайте олимпиады, и стараться обязательно достичь того вида общего решения, который приведен в ответах, я не стала. Понятно, что пара математических преобразований может сделать ответ «образцовым», но я не стала за это бороться – когда задача решена, это уже не интересно. Численный ответ верен.
Задача. «Чупа-чупс стоял в углу…» За что его поставили, неясно, но стоять ему не очень-то хотелось. Вот он и стал постепенно отставлять свою «ножку» все дальше вдоль биссектрисы того прямого угла между стенками, в который его поставили, а «головой» опираясь о стенки (см. рисунок). При каком угле между ножкой и полом чупа-чупс упадет? Считать, что вся его масса сосредоточена в однородной шарообразной «голове» радиусом
, расстояние от центра головы до конца ножки равно
, коэффициент трения головы о стенки угла –
, а ножки об пол –
. Решите задачу в общем виде, а затем проведите численный расчет угла α для случая
,
.
Решение. Для начала расставим все силы.

Расстановка сил
Запишем теперь условия равновесия. По вертикальной оси:
По горизонтали действуют две силы реакции опоры и сила трения
, направленная по гипотенузе угла. Для горизонтальной оси имеем:
Относительно центра тяжести (центра головы) составим уравнение моментов. Для этого понадобится еще рисунок (слева – вид сверху на голову чупа-чупса, справа – проекция на плоскость, проходящую через центр головы чупа-чупса и биссектрису прямого угла):

Пояснения для правила моментов
Длина отрезка легко определяется из треугольника
через его площадь:
Длины отрезков и
равны радиусу головы чупа-чупса, а длина гипотенузы
тогда равна
. Следовательно,
При соскальзывании чупа-чупса также справедливо
Из второго условия равновесия выразим :
Подставим все в уравнение моментов:
Сокращаем на и подставляем значение
:
Тогда
Получили квадратное уравнение, дискриминант которого
Теперь можно определять корни:
Определяем численное значение угла:
Ответ: чупа-чупс начнет падение при угле наклона ножки к горизонтали, равном .
Комментариев - 2
Анна Валерьевна, скажите, пожалуйста, почему плечо силы трения головы о стенки именно DO? Ведь кратчайшее расстояние от сил ( силы трения проходят через точки А В перпендикулярно левому рисунку) есть радиус.
Спасибо.
Потому что я составляю уравнение моментов в биссектральной плоскости. И на нее проецирую силу трения. Поэтому расстояние от центра до этой проекции – DO.