Задача про описанные окружности

В параллелограмме известны две стороны (AB=a, BC=b) и угол ∠BAD=α. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников  BCD и DAB

Заметим, что треугольники, вокруг которых описаны окружности – равные по двум сторонам и углу между ними, а значит, вокруг них описаны окружности одного радиуса.

Дано

Отмечаем все на рисунке

Известно, что центр описанной окружности – это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Особо отметим, что, поскольку треугольники имеют общую сторону BD, то перпендикуляры к этой стороне лежат на одной прямой и также равны. Итак, отметим центры наших окружностей (синим отмечены серединные перпендикуляры, рыжим – радиусы описанных окружностей, проведенные:к вершинам треугольников):

Теперь можно провести и сами окружности:

Описанные около треугольников окружности

Обратим внимание на треугольники  BOD и BKD: они равны по трем сторонам, значит, их высоты равны и фигура BODK – ромб (равны все стороны, диагонали точкой пересечения делятся пополам и перпендикулярны). Найдем диагональ параллелограмма BD по теореме синусов из треугольника BAD:

Теперь можно найти высоту треугольника BOD, например, по теореме Пифагора:

Искомое расстояние OK – удвоенная высота.Осталось определить радиус описанной окружности, для этого определим BD по теореме косинусов:

Выразим радиус:

И, наконец, искомое расстояние: