Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение по окружности, Относительность движения, Равнопеременное движение

Задача про катушку

В этой задаче придется применить не только знание темы “равноускоренное движение”, но и тему “движение по окружности”, а также вспомнить, что такое мгновенный центр вращения.

Задача. На цилиндрическую часть катушки радиусом r=10 см, лежащей на столе, намотана легкая нерастяжимая нить, отрезок AB которой горизонтален.  В момент времени t=0 точку нити A начинают тянуть с постоянным горизонтальным ускорением a=4 см/с^2. При этом катушка начинает двигаться без проскальзывания так, что ее ось не изменяет своей ориентации. Через какое время t длина горизонтального участка нити изменится в n=2 раза, если длина отрезка AB была равна L_0=1 м, а внешний радиус катушки равен R=20 см?

Задача о катушке

Во-первых, надо отметить, что катушка будет катиться вправо, так как мгновенный центр вращения находится в точке K. Следовательно, вращение будет происходить по часовой стрелке, и нить будет наматываться на катушку, следовательно, укорачиваться. Длина окружности внутреннего радиуса катушки равна l=2 \pi r=6,28 \cdot 10=62,8 см, откуда следует вывод, что полный оборот катушка сделать не успеет. Катушка сделает \frac{L_0}{n \cdot 2 \pi r} оборота. Так как центр вращения находится в точке K, то ускорение точки O относится к ускорению точки B, как R:r:

    \[\frac{a_O}{a_B}=\frac{R}{r}\]

    \[a_O=\frac{R \cdot a_B }{r}\]

Если катушка сделает \frac{L_0}{ n \cdot 2 \pi r} оборотов, то точка O пройдет расстояние S=\frac{L_0}{ n \cdot 2 \pi r}\cdot 2 \pi R=\frac{L_0R}{nr}.

Теперь  мы знаем путь, пройденный точкой O и ее ускорение, можем определить время:

    \[S=\frac{a_Ot^2}{2}\]

    \[t=\sqrt{\frac{2S}{a_O}}=\sqrt{\frac{2L_0R}{nr}\cdot \frac{r}{R a_B}}=\sqrt{\frac{2L_0}{n a_B}}=\sqrt{\frac{200}{8}}=\sqrt{25}=5\]

Везде расстояния были подставлены в сантиметрах, ускорение также дано в  см/с^2, следовательно, ответ получен в секундах.

Кстати, если поразмыслить, то ответ можно было бы получить совсем просто: используя путь точки B – длину намотавшейся нити – и ее ускорение, поскольку все ускорения пропорциональны и пути точек тоже вследствие постоянного  отношения радиусов.

Ответ: 5 с.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *