Задача про импульсы двух столкнувшихся тел

[latexpage]

Попалась задача, которая по своей сложности, мне кажется, может стоять не на третьей позиции в экзаменационном варианте. Для третьей позиции сложновата – на мой взгляд. Но задача хорошая.

Задача. По гладкой горизонтальной плоскости движутся вдоль осей х и у две шайбы с импульсами, равными по модулю $p_1 =2$ кг$\cdot$м/с и $p_2 = 3,5$ кг$\cdot$м/с (см. рисунок). После их соударения вторая шайба продолжает двигаться по оси у в прежнем направлении. Модуль импульса первой шайбы после удара равен $p_1’ = 2,5$ кг$\cdot$м/с. Найдите модуль импульса второй шайбы после удара.

Запишем величины проекций импульсов шайб на оси до удара:

$$p_{x1}=2,  p_{y2}=3,5$$

Запишем величины проекций импульсов шайб на оси после удара:

$$p_{x1}’,  p_{x2}’,  p_{y1}’,  p_{y2}’$$

Требуется найти $ p_2’$. Раз шайба продолжает движение по той же оси, то $ p_2’= p_{y2}’$, а $ p_{x2}’=0$.

Запишем уравнения закона сохранения импульса в проекциях на оси:

$$\begin{Bmatrix}{ p_{x1}+ p_{x2}= p_{x1}’+ p_{x2}’}\\{ p_{y1}+ p_{y2}= p_{y1}’+ p_{y2}’}\end{matrix}$$

Подставим числа:

$$\begin{Bmatrix}{ 2+ 0= p_{x1}’+ 0}\\{ 0+ 3,5= p_{y1}’+ p_{y2}’}\end{matrix}$$

Откуда $ p_{x1}’=2$. Из второго уравнения системы можем записать, что

$$ p_{y1}’=3,5- p_{y2}’$$

Известно, что модуль импульса первой шайбы после удара равен 2,5 – а это векторная сумма проекций импульсов. Сложить их можно по теореме Пифагора:

$$ p_1’=\sqrt{ p_{x1}’^2+ p_{y1}’^2}=2,5$$

$$\sqrt{ 2^2+ (3,5- p_{y2}’)^2}=2,5$$

$$2^2+ (3,5- p_{y2}’)^2=6,25$$

$$ p_{y2}’^2-7 p_{y2}’+10=0$$

Корни найдем по теореме Виета: $p_{y2}’=2$ или $p_{y2}’=5$. Но  $p_{y2}’\leqslant p_{y1}’$, поэтому выбираем первый корень.

Ответ: $p_2’=2$.