Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон сохранения импульса

Задача про импульсы двух столкнувшихся тел

Попалась задача, которая по своей сложности, мне кажется, может стоять не на третьей позиции в экзаменационном варианте. Для третьей позиции сложновата – на мой взгляд. Но задача хорошая.

Задача. По гладкой горизонтальной плоскости движутся вдоль осей х и у две шайбы с импульсами, равными по модулю p_1 =2 кг\cdotм/с и p_2 = 3,5 кг\cdotм/с (см. рисунок). После их соударения вторая шайба продолжает двигаться по оси у в прежнем направлении. Модуль импульса первой шайбы после удара равен p_1' = 2,5 кг\cdotм/с. Найдите модуль импульса второй шайбы после удара.

Запишем величины проекций импульсов шайб на оси до удара:

    \[p_{x1}=2,  p_{y2}=3,5\]

Запишем величины проекций импульсов шайб на оси после удара:

    \[p_{x1}',  p_{x2}',  p_{y1}',  p_{y2}'\]

Требуется найти p_2'. Раз шайба продолжает движение по той же оси, то p_2'= p_{y2}', а p_{x2}'=0.

Запишем уравнения закона сохранения импульса в проекциях на оси:

    \[\begin{Bmatrix}{ p_{x1}+ p_{x2}= p_{x1}'+ p_{x2}'}\\{ p_{y1}+ p_{y2}= p_{y1}'+ p_{y2}'}\end{matrix}\]

Подставим числа:

    \[\begin{Bmatrix}{ 2+ 0= p_{x1}'+ 0}\\{ 0+ 3,5= p_{y1}'+ p_{y2}'}\end{matrix}\]

Откуда p_{x1}'=2. Из второго уравнения системы можем записать, что

    \[p_{y1}'=3,5- p_{y2}'\]

Известно, что модуль импульса первой шайбы после удара равен 2,5 – а это векторная сумма проекций импульсов. Сложить их можно по теореме Пифагора:

    \[p_1'=\sqrt{ p_{x1}'^2+ p_{y1}'^2}=2,5\]

    \[\sqrt{ 2^2+ (3,5- p_{y2}')^2}=2,5\]

    \[2^2+ (3,5- p_{y2}')^2=6,25\]

    \[p_{y2}'^2-7 p_{y2}'+10=0\]

Корни найдем по теореме Виета: p_{y2}'=2 или p_{y2}'=5. Но  p_{y2}'\leqslant p_{y1}', поэтому выбираем первый корень.

Ответ: p_2'=2.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *