Задача про две трубы

[latexpage]

Я называю такие задачи “нелинейными”. Решать можно по-разному, кому какой способ ближе.

Задача. Две трубы заполняют водой бассейн объемом 30 м$^3$. Первая закачивает воду со скоростью, обратно пропорциональной объему воды, уже вытекшей из трубы в бассейн. В тот момент, когда из трубы вышло 5 м$^3$ жидкости, скорость заполнения оказалась равна 4 м$^3$/ч. Вторая труба закачивает воду с постоянной скоростью 1 м$^3$/ч. Сколько времени потребуется для наполнения бассейна?

Решение. Первый способ.

$$\upsilon=\frac{A}{V_1}$$

$$4=\frac{A}{5}$$

Откуда $A=20$.

$$\upsilon=\frac{20}{V_1}$$

$$V’=\frac{20}{\upsilon}$$

$$\frac{dV}{dt}=\frac{20}{\upsilon}$$

$$VdV=20dt$$

Суммируем справа и слева (кто умеет – записывает интеграл):

$$\frac{V^2}{2}=20t$$

$$V_1=2\sqrt{10t}$$

$$V_1+V_2=30$$

Вторая труба за время $t$ нальет $t$ литров воды.

$$2\sqrt{10t}+t=30$$

Пусть $\sqrt{10t}=x$, $10t=x^2; t=\frac{x^2}{10}$.

$$2x+\frac{x^2}{10}=30$$

$$x^2+20x-300=0$$

$$(x+10)^2=400$$

$$x+10=20$$

$$x=10$$

$$10t=x^2=100$$

$$t=10$$

Ответ: 10 часов.

Второй способ решения.

Начало такое же:

$$\upsilon=\frac{A}{V_1}$$

$$4=\frac{A}{5}$$

Откуда $A=20$.

$$\upsilon=\frac{20}{V_1}$$

$$\frac{1}{\upsilon}=\frac{V_1}{20}$$

Построим график зависимости величины, обратной скорости, от $V_1$:

Вторая труба за время $t$ закачает $t$ м$^3$ воды, первой надо закачать $30-t$.

$$t=\frac{V_1}{\upsilon}=\frac{(30-t)}{20}$$

На нашем графике $t$ – не что иное, как площадь закрашенного треугольника,

$$t=\frac{1}{2}\cdot\frac{(30-t)}{20}\cdot \frac{30-t}{1}$$

$$(30-t)^2=40t$$

$$t^2-100t+900=0$$

$$t_1=10$$

$$t_2=90$$

Второй корень не подходит – за это время одна вторая труба нальет 90 м$^3$.

Ответ: 10 часов.