Задача про бедную пробирку

В этой задаче бедную пробирку мучают и так и сяк: то поставят, то перевернут, а то и вовсе раскручивают то за открытый, то за закрытый конец. И при этом столбик ртути внутри, конечно, не остается неподвижным, а реагирует на все эти фокусы, смещаясь внутри пробирки. Вот эти перемещения и нужно определить.

Задача. Стеклянная трубка, запаянная с одного конца, расположена горизонтально. В трубке находится воздух, отделенный от атмосферы столбиком ртути длиной $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Длина трубки $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , длина столбика воздуха $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , атмосферное давление $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . На какое расстояние сместится ртуть в трубке, если: в) трубку поставить вертикально открытым концом вверх; 6) трубку поставить вертикально открытым концом вниз; в) горизонтально расположенную трубку вращать вокруг вертикальной оси, проходящей через открытый конец c угловой скоростью $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ; г) горизонтально расположенную трубку вращать вокруг вертикальной оси, проходящей через закрытый конец с угловой скоростью в $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ?

а) Если мы поставим трубку вверх открытым концом, то к атмосферному давлению добавится еще давление ртутного столбика, который окажется над воздушным карманом. Тогда

Давление $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , следовательно,

Объемы прямо пропорциональны длинам столбиков, поэтому, разделив все уравнение на сечение трубки, получим:

К пунктам а) и б)

$Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ здесь – первоначальная длина воздушного столбика, равная $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Смещение столбика ртути обозначим как $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , тогда

Подставим $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ :

б) Теперь переворачиваем трубку открытым концом вниз. По-прежнему на столбик ртути давит атмосфера. Над столбиком воздушный карман, там воздух создает какое-то давление, пусть $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Объемы прямо пропорциональны длинам столбиков, поэтому, разделив все уравнение на сечение трубки, получим:

Смещение столбика ртути обозначим как $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , тогда

Аналогично предыдущему, $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

в) Трубку раскручивают, закрепив за открытый конец. Тогда на столбик ртути внутри будет действовать нормальное ускорение, равное $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Центробежная сила будет равна $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . А давление, которое будет действовать на столбик, найдем, разделив силу на площадь сечения трубки:

К пункту в)

Но масса ртути может быть представлена как $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , тогда

Теперь определим радиус. За длину радиуса примем расстояние от оси вращения до центральной точки ртутного столбика. Начальное положение центральной точки столбика – $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Так как столбик в процессе вращения сместится на $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , то $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Следовательно,

К этому давлению, обусловленному вращением, добавится еще атмосферное (они вместе будут «загонять» столбик ртути глубже в пробирку), а противодействовать ему будет давление воздуха в кармане. Запишем это соображение математически:

Вследствие сдавления объем воздушного кармана уменьшится. Так как температура неизменна, то можно записать по закону Бойля-Мариотта

Поделим на сечение, и получим изменившуюся длину воздушного кармана $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ :

Изменение длины столбика воздуха – это и есть то расстояние, на которое сместится столбик ртути, то есть наше искомое $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ :

Отсюда попробуем «вытащить» $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ :

Подставим $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ :

Приводим подобные и перетаскиваем все влево:

Получили квадратное уравнение, осталось его решить. Дискриминант:

Корни:

В ответ возьмем корень с «плюсом»:

г) Трубку раскручивают, закрепив за закрытый конец. Тогда на столбик ртути внутри будет действовать нормальное ускорение, равное $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Центробежная сила будет равна $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . А давление, которое будет действовать на столбик, найдем, разделив силу на площадь сечения трубки:

Но масса ртути может быть представлена как $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , тогда

Давление воздуха в кармане и давление, обусловленное вращением, будут «выгонять» столбик ртути из пробирки, а противодействовать этому будет атмосферное давление. Запишем это соображение математически:

Вследствие воздействия центробежной силы объем воздушного кармана увеличится. Так как температура неизменна, то можно записать по закону Бойля-Мариотта

Поделим на сечение, и получим изменившуюся длину воздушного кармана $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ :

Изменение длины столбика воздуха – это и есть то расстояние, на которое сместится столбик ртути, то есть наше искомое $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Чтобы в данном случае не получить отрицательную величину в ответе, сразу же вычтем из большего меньшее: