Задача про бедную пробирку

В этой задаче бедную пробирку мучают и так и сяк: то поставят, то перевернут, а то и вовсе раскручивают то за открытый, то за закрытый  конец. И при этом столбик ртути внутри, конечно, не остается неподвижным, а реагирует на все эти фокусы, смещаясь внутри пробирки. Вот эти перемещения и нужно определить.

Задача.  Стеклянная трубка, запаянная с одного конца, расположена горизонтально. В трубке находится воздух, отделенный от атмосферы столбиком ртути длиной . Длина трубки   , длина столбика воздуха , атмосферное давление . На какое расстояние сместится ртуть в трубке, если: в) трубку поставить вертикально открытым концом вверх; 6) трубку поставить вертикально открытым концом вниз; в) горизонтально расположенную трубку вращать вокруг вертикальной оси, проходящей через открытый конец c угловой скоростью ; г) горизонтально расположенную трубку вращать вокруг вертикальной оси, проходящей через закрытый конец с угловой скоростью в ?

а) Если мы поставим трубку вверх открытым концом, то к атмосферному давлению добавится еще давление ртутного столбика, который окажется над воздушным карманом. Тогда

Давление , следовательно,

Объемы прямо пропорциональны длинам столбиков, поэтому, разделив все уравнение на сечение трубки, получим:

К пунктам а) и б)

здесь – первоначальная длина воздушного столбика, равная .

Смещение столбика ртути обозначим как , тогда

Подставим :

б) Теперь переворачиваем трубку открытым концом вниз. По-прежнему на столбик ртути давит атмосфера. Над столбиком воздушный карман, там воздух создает какое-то давление, пусть .

Объемы прямо пропорциональны длинам столбиков, поэтому, разделив все уравнение на сечение трубки, получим:

Смещение столбика ртути обозначим как , тогда

Аналогично предыдущему, .

в) Трубку раскручивают, закрепив за открытый конец. Тогда на столбик ртути внутри будет действовать нормальное ускорение, равное . Центробежная сила будет равна . А давление, которое будет действовать на столбик, найдем, разделив силу на площадь сечения трубки:

К пункту в)

Но масса ртути может быть представлена как , тогда

Теперь определим радиус. За длину радиуса примем расстояние от оси вращения до центральной точки ртутного столбика. Начальное положение центральной точки столбика – . Так как столбик в процессе вращения сместится на , то . Следовательно,

К этому давлению, обусловленному вращением, добавится еще атмосферное (они вместе будут «загонять» столбик ртути глубже в пробирку), а противодействовать ему будет давление воздуха в кармане. Запишем это соображение математически:

Вследствие сдавления объем воздушного кармана уменьшится. Так как температура неизменна, то можно записать по закону Бойля-Мариотта

Поделим на сечение, и получим изменившуюся длину воздушного кармана :

Изменение длины столбика воздуха – это и есть то расстояние, на которое сместится столбик ртути, то есть наше искомое :

Отсюда попробуем «вытащить» :

Подставим :

Приводим подобные и перетаскиваем все влево:

Получили квадратное уравнение, осталось его решить. Дискриминант:

Корни:

В ответ возьмем корень с «плюсом»:

г) Трубку раскручивают, закрепив за закрытый конец. Тогда на столбик ртути внутри будет действовать нормальное ускорение, равное . Центробежная сила будет равна . А давление, которое будет действовать на столбик, найдем, разделив силу на площадь сечения трубки:

Но масса ртути может быть представлена как , тогда

Теперь определим радиус. За длину радиуса примем расстояние от оси вращения до центральной точки ртутного столбика. Начальное положение центральной точки столбика – . Так как столбик в процессе вращения сместится на , то . Следовательно,

Давление воздуха в кармане и давление, обусловленное вращением, будут «выгонять» столбик ртути из пробирки, а противодействовать этому будет атмосферное давление. Запишем это соображение математически:

Вследствие воздействия центробежной силы объем воздушного кармана увеличится. Так как температура неизменна, то можно записать по закону Бойля-Мариотта

Поделим на сечение, и получим изменившуюся длину воздушного кармана :

Изменение длины столбика воздуха – это и есть то расстояние, на которое сместится столбик ртути, то есть наше искомое . Чтобы в данном случае не получить отрицательную величину в ответе, сразу же вычтем из большего меньшее:

Подставляем . «Вытаскиваем» :

Приводим подобные и перетаскиваем все влево:

Получили квадратное:

Дискриминант:

Корни:

В ответ возьмем корень с «плюсом»:

Ответ:

а)

б)

в)

г)