Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Изопроцессы

Задача про бедную пробирку

В этой задаче бедную пробирку мучают и так и сяк: то поставят, то перевернут, а то и вовсе раскручивают то за открытый, то за закрытый  конец. И при этом столбик ртути внутри, конечно, не остается неподвижным, а реагирует на все эти фокусы, смещаясь внутри пробирки. Вот эти перемещения и нужно определить.

Задача.  Стеклянная трубка, запаянная с одного конца, расположена горизонтально. В трубке находится воздух, отделенный от атмосферы столбиком ртути длиной l. Длина трубки 2l  , длина столбика воздуха \frac{l}{2}, атмосферное давление p_0. На какое расстояние сместится ртуть в трубке, если: в) трубку поставить вертикально открытым концом вверх; 6) трубку поставить вертикально открытым концом вниз; в) горизонтально расположенную трубку вращать вокруг вертикальной оси, проходящей через открытый конец c угловой скоростью \omega = \sqrt{\frac{g}{l}}; г) горизонтально расположенную трубку вращать вокруг вертикальной оси, проходящей через закрытый конец с угловой скоростью в \omega = \sqrt{\frac{g}{l}}?

а) Если мы поставим трубку вверх открытым концом, то к атмосферному давлению добавится еще давление ртутного столбика, который окажется над воздушным карманом. Тогда

    \[p_0V_0=p_1V_1\]

    \[V_1=\frac{ p_0V_0}{p_1}\]

Давление p_1=p_0+\rho g l, следовательно,

    \[V_1=\frac{ p_0V_0}{ p_0+\rho g l }\]

Объемы прямо пропорциональны длинам столбиков, поэтому, разделив все уравнение на сечение трубки, получим:

    \[l_1=\frac{ p_0l_0}{ p_0+\rho g l }\]

К пунктам а) и б)

l_0 здесь – первоначальная длина воздушного столбика, равная l_0=\frac{l}{2}.

Смещение столбика ртути обозначим как \Delta l, тогда

    \[\Delta l=l_1-l_0=\frac{ p_0l_0}{ p_0+\rho g l }-l_0=l_0\left(\frac{ p_0}{ p_0+\rho  gl }-1\right)= l_0\left(\frac{ p_0}{ p_0+\rho g l }-\frac{ p_0+\rho g l }{ p_0+\rho g l }\right)= l_0\frac{ \rho g l }{ p_0+\rho g l }\]

Подставим l_0:

    \[\Delta l= \frac{ \rho g l^2 }{ 2(p_0+\rho g l )}\]

б) Теперь переворачиваем трубку открытым концом вниз. По-прежнему на столбик ртути давит атмосфера. Над столбиком воздушный карман, там воздух создает какое-то давление, пусть p_2.

    \[p_0+p_2=\rho g l\]

    \[p_2=\rho g l-p_0\]

    \[p_0V_0=p_2V_2\]

    \[V_2=\frac{ p_0V_0}{p_2}=\frac{ p_0V_0}{\rho g l-p_0}\]

Объемы прямо пропорциональны длинам столбиков, поэтому, разделив все уравнение на сечение трубки, получим:

    \[l_2=\frac{ p_0l_0}{ \rho g l -p_0 }\]

Смещение столбика ртути обозначим как \Delta l, тогда

    \[\Delta l=l_2-l_0=\frac{ p_0l_0}{ \rho g l -p_0 }-l_0=l_0\left(\frac{ p_0}{ \rho  gl -p_0}-1\right)= l_0\left(\frac{ p_0}{ \rho g l- p_0}-\frac{ \rho g l- p_0 }{ \rho g l- p_0}\right)= l_0\frac{ \rho g l }{ \rho g l -p_0}\]

Аналогично предыдущему, l_0=\frac{l}{2}.

    \[\Delta l= \frac{ \rho g l^2 }{ \rho g l -p_0}\]

в) Трубку раскручивают, закрепив за открытый конец. Тогда на столбик ртути внутри будет действовать нормальное ускорение, равное \omega^2R=\frac{gR}{l}. Центробежная сила будет равна F_n=m\omega^2R=\frac{mgR}{l}. А давление, которое будет действовать на столбик, найдем, разделив силу на площадь сечения трубки:

К пункту в)

    \[p_n=\frac{F_n}{S}=\frac{mgR}{Sl}\]

Но масса ртути может быть представлена как m=\rho V, тогда

    \[p_n=\frac{\rho V gR}{Sl}=\frac{\rho V gR}{V}=\rho gR\]

Теперь определим радиус. За длину радиуса примем расстояние от оси вращения до центральной точки ртутного столбика. Начальное положение центральной точки столбика – l. Так как столбик в процессе вращения сместится на \Delta l, то R=l+\Delta l. Следовательно,

    \[p_n=\rho  g(l+\Delta l)\]

К этому давлению, обусловленному вращением, добавится еще атмосферное (они вместе будут «загонять» столбик ртути глубже в пробирку), а противодействовать ему будет давление воздуха в кармане. Запишем это соображение математически:

    \[p_n+p_0=p\]

Вследствие сдавления объем воздушного кармана уменьшится. Так как температура неизменна, то можно записать по закону Бойля-Мариотта

    \[p_0V_0=pV_1\]

    \[p_0V_0=( p_n+p_0)V_1\]

Поделим на сечение, и получим изменившуюся длину воздушного кармана l_1:

    \[p_0l_0=( p_n+p_0)l_1\]

    \[l_1=\frac{ p_0l_0}{p_n+p_0}\]

Изменение длины столбика воздуха – это и есть то расстояние, на которое сместится столбик ртути, то есть наше искомое \Delta l:

    \[\Delta l=l_0-l_1=l_0-\frac{ p_0l_0}{p_n+p_0}=l_0\left(1-\frac{ p_0}{p_n+p_0}\right)= l_0\left(\frac{p_n+ p_0}{p_n+p_0}-\frac{ p_0}{p_n+p_0}\right)\]

    \[\Delta l= l_0\frac{p_n}{ p_n+p_0}= l_0\frac{\rho  g(l+\Delta l)}{ \rho  g(l+\Delta l)+p_0}\]

Отсюда попробуем «вытащить» \Delta l:

    \[\Delta l(\rho  g(l+\Delta l)+p_0)= l_0\rho  g(l+\Delta l)\]

Подставим l_0=\frac{l}{2}:

    \[\Delta l(\rho  g(l+\Delta l)+p_0)= \frac{l}{2}\rho  g(l+\Delta l)\]

    \[2\Delta l(\rho  g(l+\Delta l)+p_0)= l\rho  g(l+\Delta l)\]

    \[2\Delta l(\rho  gl+\rho  g \Delta l+p_0)= l^2\rho  g+ l\rho  g \Delta l\]

    \[2\Delta l \rho  gl+2\rho  g \Delta l^2+2\Delta l p_0= l^2\rho  g+ l\rho  g \Delta l\]

Приводим подобные и перетаскиваем все влево:

    \[2\rho  g \Delta l^2+\Delta l(\rho  gl+2p_0)- l^2\rho  g=0\]

Получили квадратное уравнение, осталось его решить. Дискриминант:

    \[D=(\rho  gl+2p_0)^2+4 l^2\rho  g\cdot2\rho  g=4p_0^2+4p_0\rho  gl+\rho^2  g^2l^2+8\rho^2  g^2 l^2=4p_0^2+4p_0\rho  gl+9\rho^2  g^2 l^2\]

Корни:

    \[\Delta l_{1,2}=\frac{-\rho  gl-2p_0 \pm \sqrt{4p_0^2+4p_0\rho  gl+9\rho^2  g^2 l^2}}{4\rho  g }\]

В ответ возьмем корень с «плюсом»:

    \[\Delta l=\frac{-\rho  gl-2p_0 + \sqrt{4p_0^2+4p_0\rho  gl+9\rho^2  g^2 l^2}}{4\rho  g }\]

г) Трубку раскручивают, закрепив за закрытый конец. Тогда на столбик ртути внутри будет действовать нормальное ускорение, равное \omega^2R=\frac{gR}{l}. Центробежная сила будет равна F_n=m\omega^2R=\frac{mgR}{l}. А давление, которое будет действовать на столбик, найдем, разделив силу на площадь сечения трубки:

    \[p_n=\frac{F_n}{S}=\frac{mgR}{Sl}\]

Но масса ртути может быть представлена как m=\rho V, тогда

    \[p_n=\frac{\rho V gR}{Sl}=\frac{\rho V gR}{V}=\rho gR\]

Теперь определим радиус. За длину радиуса примем расстояние от оси вращения до центральной точки ртутного столбика. Начальное положение центральной точки столбика – l. Так как столбик в процессе вращения сместится на \Delta l, то R=l+\Delta l. Следовательно,

    \[p_n=\rho  g(l+\Delta l)\]

Давление воздуха в кармане и давление, обусловленное вращением, будут «выгонять» столбик ртути из пробирки, а противодействовать этому будет атмосферное давление. Запишем это соображение математически:

    \[p_n+ p = p_0\]

Вследствие воздействия центробежной силы объем воздушного кармана увеличится. Так как температура неизменна, то можно записать по закону Бойля-Мариотта

    \[p_0V_0=pV_1\]

    \[p_0V_0=( p_0-p_n)V_1\]

Поделим на сечение, и получим изменившуюся длину воздушного кармана l_1:

    \[p_0l_0=( p_0-p_n)l_1\]

    \[l_1=\frac{ p_0l_0}{ p_0-p_n}=\frac{ p_0l_0}{ p_0-\rho  g(l+\Delta l)}\]

Изменение длины столбика воздуха – это и есть то расстояние, на которое сместится столбик ртути, то есть наше искомое \Delta l. Чтобы в данном случае не получить отрицательную величину в ответе, сразу же вычтем из большего меньшее:

    \[\Delta l= l_1-l_0 =\frac{ p_0l_0}{ p_0-\rho  g(l+\Delta l)}-l_0=l_0\left(\frac{ p_0}{ p_0-\rho  g(l+\Delta l)}-1\right)= l_0\left(\frac{ p_0}{ p_0-\rho  g(l+\Delta l)}- \frac{ p_0-\rho  g(l+\Delta l)}{ p_0-\rho  g(l+\Delta l)}\right)\]

    \[\Delta l= l_0\left(\frac{\rho  g(l+\Delta l)}{ p_0-\rho  g(l+\Delta l)}\right)\]

Подставляем l_0=\frac{l}{2}. «Вытаскиваем» \Delta l:

    \[2\Delta l(p_0-\rho  g(l+\Delta l))= l\rho  g(l+\Delta l)\]

    \[2\Delta lp_0-2\Delta l \rho  g(l+\Delta l)= l^2\rho  g+\Delta l l\rho  g\]

    \[2\Delta lp_0-2\Delta l \rho  gl-2\Delta l^2 \rho  g = l^2\rho  g+\Delta l l\rho  g\]

Приводим подобные и перетаскиваем все влево:

    \[2\Delta lp_0-3\Delta l \rho  gl-2\Delta l^2 \rho  g - l^2\rho  g=0\]

Получили квадратное:

    \[2\Delta l^2 \rho  g+\Delta l(3\rho  gl -2p_0) + l^2\rho  g=0\]

Дискриминант:

    \[D=(3\rho  gl -2p_0)^2-4 l^2\rho  g\cdot 2\rho  g=9\rho^2  g^2 l^2-12p_0 \rho  gl +4p_0^2-8\rho^2  g^2 l^2=\rho^2  g^2 l^2-12p_0 \rho  gl +4p_0^2\]

Корни:

    \[\Delta l_{1,2}=\frac{-3\rho  gl+2p_0 \pm \sqrt{\rho^2  g^2 l^2-12p_0 \rho  gl +4p_0^2}}{4\rho  g }\]

В ответ возьмем корень с «плюсом»:

    \[\Delta l=\frac{-3\rho  gl+2p_0 + \sqrt{\rho^2  g^2 l^2-12p_0 \rho  gl +4p_0^2}}{4\rho  g }\]

Ответ:

а) \Delta l= \frac{ \rho g l^2 }{ 2(p_0+\rho g l )}

б) \Delta l= \frac{ \rho g l^2 }{ \rho g l -p_0}

в) \Delta l=\frac{-\rho  gl-2p_0 + \sqrt{4p_0^2+4p_0\rho  gl+9\rho^2  g^2 l^2}}{4\rho  g }

г) \Delta l=\frac{-3\rho  gl+2p_0 + \sqrt{\rho^2  g^2 l^2-12p_0 \rho  gl +4p_0^2}}{4\rho  g }

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *