Задача про бедную пробирку

В этой задаче бедную пробирку мучают и так и сяк: то поставят, то перевернут, а то и вовсе раскручивают то за открытый, то за закрытый конец. И при этом столбик ртути внутри, конечно, не остается неподвижным, а реагирует на все эти фокусы, смещаясь внутри пробирки. Вот эти перемещения и нужно определить.

Задача. Стеклянная трубка, запаянная с одного конца, расположена горизонтально. В трубке находится воздух, отделенный от атмосферы столбиком ртути длиной $l$ . Длина трубки $2l$ , длина столбика воздуха $\frac{l}{2}$ , атмосферное давление $p_0$ . На какое расстояние сместится ртуть в трубке, если: в) трубку поставить вертикально открытым концом вверх; 6) трубку поставить вертикально открытым концом вниз; в) горизонтально расположенную трубку вращать вокруг вертикальной оси, проходящей через открытый конец c угловой скоростью $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ ; г) горизонтально расположенную трубку вращать вокруг вертикальной оси, проходящей через закрытый конец с угловой скоростью в $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ ?

а) Если мы поставим трубку вверх открытым концом, то к атмосферному давлению добавится еще давление ртутного столбика, который окажется над воздушным карманом. Тогда

$p_0V_0=p_1V_1$

$V_1=\frac{ p_0V_0}{p_1}$

Давление $p_1=p_0+\rho g l$ , следовательно,

$V_1=\frac{ p_0V_0}{ p_0+\rho g l }$

Объемы прямо пропорциональны длинам столбиков, поэтому, разделив все уравнение на сечение трубки, получим:

$l_1=\frac{ p_0l_0}{ p_0+\rho g l }$

К пунктам а) и б)

$l_0$ здесь – первоначальная длина воздушного столбика, равная $l_0=\frac{l}{2}$ .

Смещение столбика ртути обозначим как $\Delta l$ , тогда

$\Delta l=l_1-l_0=\frac{ p_0l_0}{ p_0+\rho g l }-l_0=l_0\left(\frac{ p_0}{ p_0+\rho gl }-1\right)= l_0\left(\frac{ p_0}{ p_0+\rho g l }-\frac{ p_0+\rho g l }{ p_0+\rho g l }\right)= l_0\frac{ \rho g l }{ p_0+\rho g l }$

Подставим $l_0$ :

$\Delta l= \frac{ \rho g l^2 }{ 2(p_0+\rho g l )}$

б) Теперь переворачиваем трубку открытым концом вниз. По-прежнему на столбик ртути давит атмосфера. Над столбиком воздушный карман, там воздух создает какое-то давление, пусть $p_2$ .

$p_0+p_2=\rho g l$

$p_2=\rho g l-p_0$

$p_0V_0=p_2V_2$

$V_2=\frac{ p_0V_0}{p_2}=\frac{ p_0V_0}{\rho g l-p_0}$

Объемы прямо пропорциональны длинам столбиков, поэтому, разделив все уравнение на сечение трубки, получим:

$l_2=\frac{ p_0l_0}{ \rho g l -p_0 }$

Смещение столбика ртути обозначим как $\Delta l$ , тогда

$\Delta l=l_2-l_0=\frac{ p_0l_0}{ \rho g l -p_0 }-l_0=l_0\left(\frac{ p_0}{ \rho gl -p_0}-1\right)= l_0\left(\frac{ p_0}{ \rho g l- p_0}-\frac{ \rho g l- p_0 }{ \rho g l- p_0}\right)= l_0\frac{ \rho g l }{ \rho g l -p_0}$

Аналогично предыдущему, $l_0=\frac{l}{2}$ .

$\Delta l= \frac{ \rho g l^2 }{ \rho g l -p_0}$

в) Трубку раскручивают, закрепив за открытый конец. Тогда на столбик ртути внутри будет действовать нормальное ускорение, равное $\omega^2R=\frac{gR}{l}$ . Центробежная сила будет равна $F_n=m\omega^2R=\frac{mgR}{l}$ . А давление, которое будет действовать на столбик, найдем, разделив силу на площадь сечения трубки:

К пункту в)

$p_n=\frac{F_n}{S}=\frac{mgR}{Sl}$

Но масса ртути может быть представлена как $m=\rho V$ , тогда

$p_n=\frac{\rho V gR}{Sl}=\frac{\rho V gR}{V}=\rho gR$

Теперь определим радиус. За длину радиуса примем расстояние от оси вращения до центральной точки ртутного столбика. Начальное положение центральной точки столбика – $l$ . Так как столбик в процессе вращения сместится на $\Delta l$ , то $R=l+\Delta l$ . Следовательно,

$p_n=\rho g(l+\Delta l)$

К этому давлению, обусловленному вращением, добавится еще атмосферное (они вместе будут «загонять» столбик ртути глубже в пробирку), а противодействовать ему будет давление воздуха в кармане. Запишем это соображение математически:

$p_n+p_0=p$

Вследствие сдавления объем воздушного кармана уменьшится. Так как температура неизменна, то можно записать по закону Бойля-Мариотта

$p_0V_0=pV_1$

$p_0V_0=( p_n+p_0)V_1$

Поделим на сечение, и получим изменившуюся длину воздушного кармана $l_1$ :

$p_0l_0=( p_n+p_0)l_1$

$l_1=\frac{ p_0l_0}{p_n+p_0}$

Изменение длины столбика воздуха – это и есть то расстояние, на которое сместится столбик ртути, то есть наше искомое $\Delta l$ :

$\Delta l=l_0-l_1=l_0-\frac{ p_0l_0}{p_n+p_0}=l_0\left(1-\frac{ p_0}{p_n+p_0}\right)= l_0\left(\frac{p_n+ p_0}{p_n+p_0}-\frac{ p_0}{p_n+p_0}\right)$

$\Delta l= l_0\frac{p_n}{ p_n+p_0}= l_0\frac{\rho g(l+\Delta l)}{ \rho g(l+\Delta l)+p_0}$

Отсюда попробуем «вытащить» $\Delta l$ :

$\Delta l(\rho g(l+\Delta l)+p_0)= l_0\rho g(l+\Delta l)$

Подставим $l_0=\frac{l}{2}$ :

$\Delta l(\rho g(l+\Delta l)+p_0)= \frac{l}{2}\rho g(l+\Delta l)$

$2\Delta l(\rho g(l+\Delta l)+p_0)= l\rho g(l+\Delta l)$

$2\Delta l(\rho gl+\rho g \Delta l+p_0)= l^2\rho g+ l\rho g \Delta l$

$2\Delta l \rho gl+2\rho g \Delta l^2+2\Delta l p_0= l^2\rho g+ l\rho g \Delta l$

Приводим подобные и перетаскиваем все влево:

$2\rho g \Delta l^2+\Delta l(\rho gl+2p_0)- l^2\rho g=0$

Получили квадратное уравнение, осталось его решить. Дискриминант:

$D=(\rho gl+2p_0)^2+4 l^2\rho g\cdot2\rho g=4p_0^2+4p_0\rho gl+\rho^2 g^2l^2+8\rho^2 g^2 l^2=4p_0^2+4p_0\rho gl+9\rho^2 g^2 l^2$

Корни:

$\Delta l_{1,2}=\frac{-\rho gl-2p_0 \pm \sqrt{4p_0^2+4p_0\rho gl+9\rho^2 g^2 l^2}}{4\rho g }$

В ответ возьмем корень с «плюсом»:

$\Delta l=\frac{-\rho gl-2p_0 + \sqrt{4p_0^2+4p_0\rho gl+9\rho^2 g^2 l^2}}{4\rho g }$

г) Трубку раскручивают, закрепив за закрытый конец. Тогда на столбик ртути внутри будет действовать нормальное ускорение, равное $\omega^2R=\frac{gR}{l}$ . Центробежная сила будет равна $F_n=m\omega^2R=\frac{mgR}{l}$ . А давление, которое будет действовать на столбик, найдем, разделив силу на площадь сечения трубки:

$p_n=\frac{F_n}{S}=\frac{mgR}{Sl}$

Но масса ртути может быть представлена как $m=\rho V$ , тогда

$p_n=\frac{\rho V gR}{Sl}=\frac{\rho V gR}{V}=\rho gR$

$p_n=\rho g(l+\Delta l)$

Давление воздуха в кармане и давление, обусловленное вращением, будут «выгонять» столбик ртути из пробирки, а противодействовать этому будет атмосферное давление. Запишем это соображение математически:

$p_n+ p = p_0$

Вследствие воздействия центробежной силы объем воздушного кармана увеличится. Так как температура неизменна, то можно записать по закону Бойля-Мариотта

$p_0V_0=pV_1$

$p_0V_0=( p_0-p_n)V_1$

Поделим на сечение, и получим изменившуюся длину воздушного кармана $l_1$ :

$p_0l_0=( p_0-p_n)l_1$

$l_1=\frac{ p_0l_0}{ p_0-p_n}=\frac{ p_0l_0}{ p_0-\rho g(l+\Delta l)}$

Изменение длины столбика воздуха – это и есть то расстояние, на которое сместится столбик ртути, то есть наше искомое $\Delta l$ . Чтобы в данном случае не получить отрицательную величину в ответе, сразу же вычтем из большего меньшее:

$\Delta l= l_1-l_0 =\frac{ p_0l_0}{ p_0-\rho g(l+\Delta l)}-l_0=l_0\left(\frac{ p_0}{ p_0-\rho g(l+\Delta l)}-1\right)= l_0\left(\frac{ p_0}{ p_0-\rho g(l+\Delta l)}- \frac{ p_0-\rho g(l+\Delta l)}{ p_0-\rho g(l+\Delta l)}\right)$