Задача. Прямоугольная яма, площадь основания которой и глубина
, наполовину заполнена водой. Насос выкачивает воду и подает ее на поверхность земли через цилиндрическую трубу радиусом
. Какую минимальную работу совершил насос и какова его мощность, если он выкачал всю воду за время
? Каков КПД насоса?
Решение.
Итак. Имеем яму, и в ней воду. Объем имеющейся воды , потому что яма только наполовину полная (или, может, полупустая?).
Масса такого количества воды равна: .
Задача насоса – поднять всю воду из ямы. Но так как верхние слои воды ему надо поднимать на высоту , а нижние – на высоту
, то примем, что в среднем он поднимает всю воду со средней глубины, то есть с глубины
.
Определим, на сколько увеличится потенциальная энергия выкачанной воды:
Насос успевает выкачать всю воду за время , следовательно, весь объем воды проходит через шланг за это время, иначе говоря, через его сечение на верхнем конце.
Тогда при радиусе сечение шланга равно
.
А скорость прохождения по шлангу воды равна
Раз вода имеет определенную скорость, то она имеет и кинетическую энергию, равную
Таким образом, минимальная работа, которую совершил насос, может быть вычислена как сумма изменений потенциальной и кинетической энергий воды:
Мощность насоса определится как скорость выполнения им работы:
Осталось найти КПД насоса. Коэффициент полезного действия – это отношение полезной работы к полной. Полную мы нашли – это .
А что мы примем за полезную работу? А вот если бы насос смог поднять воду так, чтобы сообщить ей только потенциальную энергию –это ведь и есть полезная работа! Тогда КПД насоса – это отношение изменения потенциальной энергии воды к полной работе:
Сокращаем, и получаем:
Комментариев - 3
Опечатка в формуле
A = r*H*S^2/8 -> r*H^2*S/8
Да, исправлено, спасибо большое.