Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Законы сохранения энергии

Задача о яме с водой

Задача. Прямоугольная яма, площадь основания которой S и глубина H, наполовину заполнена водой. Насос выкачивает воду и подает ее на поверхность земли через цилиндрическую трубу радиусом R. Какую минимальную работу совершил насос и какова его мощность, если он выкачал всю воду за время t? Каков КПД насоса?

Решение.

Итак. Имеем яму, и в ней воду. Объем имеющейся воды V=\frac{HS}{2}, потому что яма только наполовину полная (или, может, полупустая?).

Масса такого количества воды равна: m=\frac{\rho HS}{2}.

Задача насоса – поднять всю воду из ямы. Но так как верхние слои воды ему надо поднимать на высоту \frac{H}{2}, а нижние – на высоту H, то примем, что в среднем он поднимает всю воду со средней глубины, то есть с глубины \frac{3H}{4}.

Определим, на сколько увеличится потенциальная энергия выкачанной воды:

    \[E_p=mg\frac{3H}{4}=\frac{\rho HS}{2} g\frac{3H}{4}=\frac{3\rho H^2Sg}{8}\]

Насос успевает выкачать всю воду за время t, следовательно, весь объем воды проходит через шланг за это время, иначе говоря, через его сечение на верхнем конце.

Тогда при радиусе R сечение шланга равно S_{sh}= \pi R^2.

А скорость прохождения по шлангу воды равна

    \[\upsilon=\frac{V}{ S_{sh}t}=\frac{\frac{HS}{2}}{\pi R^2t}=\frac{HS}{2\pi R^2t}\]

Раз вода имеет определенную скорость, то она имеет и кинетическую энергию, равную

    \[E_k=\frac{m \upsilon^2}{2}=\frac{1}{2}\frac{\rho HS}{2}\left(\frac{HS}{2\pi R^2t}\right)^2=\frac{\rho H^3S^3 }{16\pi^2 R^4t^2}\]

Таким образом, минимальная работа, которую совершил насос, может быть вычислена как сумма изменений потенциальной и кинетической энергий воды:

    \[A_{min}= E_p+ E_k=\frac{3\rho H^2Sg}{8}+\frac{\rho H^3S^3 }{16\pi^2 R^4t^2}=\frac{\rho HS^2}{8}\left(\frac{HS^2}{2\pi^2 R^4t^2}+3g\right)\]

Мощность насоса определится как скорость выполнения им работы:

    \[N=\frac{A}{t}=\frac{\rho HS^2}{8t}\left(\frac{HS^2}{2\pi^2 R^4t^2}+3g\right)\]

Осталось найти КПД насоса. Коэффициент полезного действия – это отношение полезной работы к полной. Полную мы нашли – это A_{min}.

А что мы примем за полезную работу? А вот если бы насос смог поднять воду так, чтобы сообщить ей только потенциальную энергию –это ведь и есть полезная работа! Тогда КПД насоса – это отношение изменения потенциальной энергии воды к полной работе:

    \[\eta=\frac{E_p}{ A_{min}} =\frac{\frac{3\rho H^2Sg}{8}}{\frac{\rho HS^2}{8}\left(\frac{HS^2}{2\pi^2 R^4t^2}+3g\right)}\]

    \[\eta=\frac{\frac{3\rho H^2Sg}{8}}{\frac{\rho H^3S^3+3g\rhoSH^2 2\pi^2 R^4t^2}{16\pi^2 R^4t^2}}\]

    \[\eta=\frac{3\rho H^2Sg}{8}}\cdot\frac{16\pi^2 R^4t^2}{\rho H^3S^3+3g\rhoSH^2 2\pi^2 R^4t^2}\]

Сокращаем, и получаем:

    \[\eta=\frac{6g\pi^2 R^4t^2}{S^2H+6g\pi^2 R^4t^2}\]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *