Задача о яме с водой

Задача. Прямоугольная яма, площадь основания которой и глубина , наполовину заполнена водой. Насос выкачивает воду и подает ее на поверхность земли через цилиндрическую трубу радиусом . Какую минимальную работу совершил насос и какова его мощность, если он выкачал всю воду за время ? Каков КПД насоса?

Решение.

Итак. Имеем яму, и в ней воду. Объем имеющейся воды , потому что яма только наполовину полная (или, может, полупустая?).

Масса такого количества воды равна: .

Задача насоса – поднять всю воду из ямы. Но так как верхние слои воды ему надо поднимать на высоту , а нижние – на высоту , то примем, что в среднем он поднимает всю воду со средней глубины, то есть с глубины .

Определим, на сколько увеличится потенциальная энергия выкачанной воды:

Насос успевает выкачать всю воду за время , следовательно, весь объем воды проходит через шланг за это время, иначе говоря, через его сечение на верхнем конце.

Тогда при радиусе сечение шланга равно .

А скорость прохождения по шлангу воды равна

Раз вода имеет определенную скорость, то она имеет и кинетическую энергию, равную

Таким образом, минимальная работа, которую совершил насос, может быть вычислена как сумма изменений потенциальной и кинетической энергий воды:

Мощность насоса определится как скорость выполнения им работы:

Осталось найти КПД насоса. Коэффициент полезного действия – это отношение полезной работы к полной. Полную мы нашли – это .

А что мы примем за полезную работу? А вот если бы насос смог поднять воду так, чтобы сообщить ей только потенциальную энергию –это ведь и есть полезная работа! Тогда КПД насоса – это отношение изменения потенциальной энергии воды к полной работе:

Сокращаем, и получаем: