Задача о яме с водой

[latexpage]

Задача. Прямоугольная яма, площадь основания которой $S$ и глубина $H$, наполовину заполнена водой. Насос выкачивает воду и подает ее на поверхность земли через цилиндрическую трубу радиусом $R$. Какую минимальную работу совершил насос и какова его мощность, если он выкачал всю воду за время $t$? Каков КПД насоса?

Решение.

Итак. Имеем яму, и в ней воду. Объем имеющейся воды $V=\frac{HS}{2}$, потому что яма только наполовину полная (или, может, полупустая?).

Масса такого количества воды равна: $m=\frac{\rho HS}{2}$.

Задача насоса – поднять всю воду из ямы. Но так как верхние слои воды ему надо поднимать на высоту $\frac{H}{2}$, а нижние – на высоту $H$, то примем, что в среднем он поднимает всю воду со средней глубины, то есть с глубины $\frac{3H}{4}$.

Определим, на сколько увеличится потенциальная энергия выкачанной воды:

$$E_p=mg\frac{3H}{4}=\frac{\rho HS}{2} g\frac{3H}{4}=\frac{3\rho H^2Sg}{8}$$

Насос успевает выкачать всю воду за время $t$, следовательно, весь объем воды проходит через шланг за это время, иначе говоря, через его сечение на верхнем конце.

Тогда при радиусе $R$ сечение шланга равно $S_{sh}= \pi R^2$.

А скорость прохождения по шлангу воды равна

$$\upsilon=\frac{V}{ S_{sh}t}=\frac{\frac{HS}{2}}{\pi R^2t}=\frac{HS}{2\pi R^2t}$$

Раз вода имеет определенную скорость, то она имеет и кинетическую энергию, равную

$$E_k=\frac{m \upsilon^2}{2}=\frac{1}{2}\frac{\rho HS}{2}\left(\frac{HS}{2\pi R^2t}\right)^2=\frac{\rho H^3S^3 }{16\pi^2 R^4t^2}$$

Таким образом, минимальная работа, которую совершил насос, может быть вычислена как сумма изменений потенциальной и кинетической энергий воды:

$$A_{min}= E_p+ E_k=\frac{3\rho H^2Sg}{8}+\frac{\rho H^3S^3 }{16\pi^2 R^4t^2}=\frac{\rho H^2S}{8}\left(\frac{HS^2}{2\pi^2 R^4t^2}+3g\right)$$

Мощность насоса определится как скорость выполнения им работы:

$$N=\frac{A}{t}=\frac{\rho H^2S}{8t}\left(\frac{HS^2}{2\pi^2 R^4t^2}+3g\right)$$

Осталось найти КПД насоса. Коэффициент полезного действия – это отношение полезной работы к полной. Полную мы нашли – это $A_{min}$.

А что мы примем за полезную работу? А вот если бы насос смог поднять воду так, чтобы сообщить ей только потенциальную энергию –это ведь и есть полезная работа! Тогда КПД насоса – это отношение изменения потенциальной энергии воды к полной работе:

$$\eta=\frac{E_p}{ A_{min}} =\frac{\frac{3\rho H^2Sg}{8}}{\frac{\rho H^2S}{8}\left(\frac{HS^2}{2\pi^2 R^4t^2}+3g\right)}$$

$$\eta=\frac{3g}{\left(\frac{HS^2}{2\pi^2 R^4t^2}+3g\right)}$$

Сокращаем, и получаем:

$$\eta=\frac{6g\pi^2 R^4t^2}{HS^2+6g\pi^2 R^4t^2}$$