Задача о трех пешеходах

[latexpage]

Попалась задача на просторах интернета, понравилась. Решила предложить ее решение.

Задача. Три пешехода одновременно разошлись по трем дорогам от одного перекрестка с разными скоростями. Дороги расположены под углами $120^{\circ}$ друг к другу, а скорости пешеходов образуют арифметическую прогрессию. Через два часа расстояние между самым быстрым из пешеходов и самым медленным равно $2\sqrt{76}$, а между вторым и самым медленным – $2\sqrt{61}$. Найти скорости пешеходов.

Будем рассуждать так: раз через два часа расстояния таковы, то через час расстояния между самым быстрым и вторым, и между вторым и самым медленным должны быть равны $\sqrt{76}$ и $\sqrt{61}$ соответственно. Обозначим скорость среднего по скорости (второго) пешехода за $\upsilon$, тогда скорость самого быстрого $\upsilon+d$, а самого медленного $\upsilon-d$.

Три пешехода

Тогда по теореме косинусов можно записать

$$\begin{Bmatrix}{ 61=\upsilon^2+(\upsilon-d)^2-2\upsilon(\upsilon-d)\cos120^{\circ}}\\{76=(\upsilon+d)^2+(\upsilon-d)^2-2(\upsilon+d)(\upsilon-d)\cos 120^{\circ}}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ 61=\upsilon^2+\upsilon^2 -2\upsilon d+d^2+\upsilon^2-\upsilon d}\\{76=\upsilon^2+2\upsilon d+d^2+\upsilon^2-2\upsilon d+d^2+ \upsilon^2-d^2}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ 61=3\upsilon^2 -3\upsilon d+d^2}\\{76=3\upsilon^2+d^2 }\end{matrix}$$

Вычитание уравнений даст

$$3\upsilon d=15$$

$$\upsilon d=5$$

Тогда

$$3\upsilon^2+\frac{25}{\upsilon^2}=76$$

$$3\upsilon^4-76\upsilon^2+25=0$$

$$D=76^2-12\cdot25=5476=74^2$$

$$\upsilon^2=\frac{76+74}{6}=25$$
$$\upsilon=5$$

Тогда скорость медленного пешехода – 4 км/ч, а быстрого – 6 км/ч.

Ответ: 4, 5 и 6 км/ч.