Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Нестандартные задачи, Прогрессии (задание 11)

Задача о трех пешеходах

Попалась задача на просторах интернета, понравилась. Решила предложить ее решение.

Задача. Три пешехода одновременно разошлись по трем дорогам от одного перекрестка с разными скоростями. Дороги расположены под углами 120^{\circ} друг к другу, а скорости пешеходов образуют арифметическую прогрессию. Через два часа расстояние между самым быстрым из пешеходов и самым медленным равно 2\sqrt{76}, а между вторым и самым медленным – 2\sqrt{61}. Найти скорости пешеходов.

Будем рассуждать так: раз через два часа расстояния таковы, то через час расстояния между самым быстрым и вторым, и между вторым и самым медленным должны быть равны \sqrt{76} и \sqrt{61} соответственно. Обозначим скорость среднего по скорости (второго) пешехода за \upsilon, тогда скорость самого быстрого \upsilon+d, а самого медленного \upsilon-d.

Три пешехода

Тогда по теореме косинусов можно записать

    \[\begin{Bmatrix}{ 61=\upsilon^2+(\upsilon-d)^2-2\upsilon(\upsilon-d)\cos120^{\circ}}\\{76=(\upsilon+d)^2+(\upsilon-d)^2-2(\upsilon+d)(\upsilon-d)\cos 120^{\circ}}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ 61=\upsilon^2+\upsilon^2 -2\upsilon d+d^2+\upsilon^2-\upsilon d}\\{76=\upsilon^2+2\upsilon d+d^2+\upsilon^2-2\upsilon d+d^2+ \upsilon^2-d^2}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ 61=3\upsilon^2 -3\upsilon d+d^2}\\{76=3\upsilon^2+d^2 }\end{matrix}\]

Вычитание уравнений даст

    \[3\upsilon d=15\]

    \[\upsilon d=5\]

Тогда

    \[3\upsilon^2+\frac{25}{\upsilon^2}=76\]

    \[3\upsilon^4-76\upsilon^2+25=0\]

    \[D=76^2-12\cdot25=5476=74^2\]

    \[\upsilon^2=\frac{76+74}{6}=25\]

    \[\upsilon=5\]

Тогда скорость медленного пешехода – 4 км/ч, а быстрого – 6 км/ч.

Ответ: 4, 5 и 6 км/ч.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *