Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Законы сохранения энергии

Задача о шарике и мертвой петле


В  этой статье будет рассмотрена всего одна задача: задача на закон сохранения энергии. Задача такая:

Шарик скатывается с возвышенности и делает мертвую петлю радиусом R. Какова минимальная высота такой возвышенности? Трением пренебречь.

Задача Григория Левиева

Рассмотрим картинку. В начале своего движения шарик еще не обладает скоростью, поэтому его кинетическая энергия нулевая. Зато он обладает потенциальной энергией, поскольку находится на высоте H. Примем основание петли за нулевой уровень потенциальной энергии, тогда E_{pot1}=mgH.

Когда шарик скатится вниз, его потенциальная энергия перейдет в кинетическую, и он будет обладать скоростью \upsilon_1.Кинетическая энергия шарика будет равна E_{k1}=\frac{m{\upsilon_1}^2}{2}. Эта энергия равна его потенциальной энергии в точке старта:

    \[E_{k1}= E_{pot1}\]

    \[\frac{m{\upsilon_1}^2}{2}= mgH\]

    \[{\upsilon_1}^2= 2gH\]

Тогда искомая исходная высота будет:

    \[H=\frac{{\upsilon_1}^2}{2g}\]

Потом шарик оказывается в верхней точке петли. Здесь, чтобы удержаться, он должен обладать минимальным центростремительным ускорением. А минимальным оно будет, если будет равно ускорению свободного падения:

    \[a_{z}=g\]

Одновременно вспомним, что a_{z}=\frac{{\upsilon_2}^2}{R}=g, поэтому

    \[{\upsilon_2}^2=gR\]

Кинетическая энергия шарика в верхней точке петли:

    \[E_{k2}=\frac{m{\upsilon_2}^2}{2}\]

Потенциальная энергия шарика в верхней точке петли:

    \[E_{pot2}=2mgR\]

Таким образом, кинетическая энергия шарика, которая наличествовала в нижней точке петли, частично перейдет в потенциальную, когда он поднимется в верхнюю ее точку:

    \[E_{k2}+ E_{pot2}= E_{k1}\]

    \[\frac{m{\upsilon_2}^2}{2}+2mgR=\frac{m{\upsilon_1}^2}{2}\]

Масса шарика сокращается:

    \[\frac{{\upsilon_2}^2}{2}+2gR=\frac{{\upsilon_1}^2}{2}\]

Домножим на 2:

    \[{\upsilon_2}^2+4gR={\upsilon_1}^2\]

Вспомним, что {\upsilon_2}^2=gR, следовательно,

    \[{\upsilon_1}^2=5gR\]

Найдем теперь высоту старта:

    \[H=\frac{{\upsilon_1}^2}{2g}=\frac{5gR}{2g}=2,5R\]

Ответ: H=2,5R

Один комментарий

  • Сергей
    |

    Мой Е-мэйл действительный, но система не хочет его принимать.
    Пропал весь набранный текст комментария. Если возможна связь, то пришлю свои предложения по теме “мертвая петля”.

    Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *