Задача о шарике и мертвой петле

В  этой статье будет рассмотрена всего одна задача: задача на закон сохранения энергии. Задача такая:

Шарик скатывается с возвышенности и делает мертвую петлю радиусом . Какова минимальная высота такой возвышенности? Трением пренебречь.

Задача Григория Левиева

Рассмотрим картинку. В начале своего движения шарик еще не обладает скоростью, поэтому его кинетическая энергия нулевая. Зато он обладает потенциальной энергией, поскольку находится на высоте . Примем основание петли за нулевой уровень потенциальной энергии, тогда .

Когда шарик скатится вниз, его потенциальная энергия перейдет в кинетическую, и он будет обладать скоростью .Кинетическая энергия шарика будет равна . Эта энергия равна его потенциальной энергии в точке старта:

Тогда искомая исходная высота будет:

Потом шарик оказывается в верхней точке петли. Здесь, чтобы удержаться, он должен обладать минимальным центростремительным ускорением. А минимальным оно будет, если будет равно ускорению свободного падения:

Одновременно вспомним, что , поэтому

Кинетическая энергия шарика в верхней точке петли:

Потенциальная энергия шарика в верхней точке петли:

Таким образом, кинетическая энергия шарика, которая наличествовала в нижней точке петли, частично перейдет в потенциальную, когда он поднимется в верхнюю ее точку:

Масса шарика сокращается:

Домножим на 2:

Вспомним, что , следовательно,

Найдем теперь высоту старта:

Ответ: