Задача о шарике и мертвой петле

В этой статье будет рассмотрена всего одна задача: задача на закон сохранения энергии. Задача такая:

Шарик скатывается с возвышенности и делает мертвую петлю радиусом $R$ . Какова минимальная высота такой возвышенности? Трением пренебречь.

Задача Григория Левиева

Рассмотрим картинку. В начале своего движения шарик еще не обладает скоростью, поэтому его кинетическая энергия нулевая. Зато он обладает потенциальной энергией, поскольку находится на высоте $H$ . Примем основание петли за нулевой уровень потенциальной энергии, тогда $E_{pot1}=mgH$ .

Когда шарик скатится вниз, его потенциальная энергия перейдет в кинетическую, и он будет обладать скоростью $\upsilon_1$ .Кинетическая энергия шарика будет равна $E_{k1}=\frac{m{\upsilon_1}^2}{2}$ . Эта энергия равна его потенциальной энергии в точке старта:

$E_{k1}= E_{pot1}$

$\frac{m{\upsilon_1}^2}{2}= mgH$

${\upsilon_1}^2= 2gH$

Тогда искомая исходная высота будет:

$H=\frac{{\upsilon_1}^2}{2g}$

Потом шарик оказывается в верхней точке петли. Здесь, чтобы удержаться, он должен обладать минимальным центростремительным ускорением. А минимальным оно будет, если будет равно ускорению свободного падения:

$a_{z}=g$

Одновременно вспомним, что $a_{z}=\frac{{\upsilon_2}^2}{R}=g$ , поэтому

${\upsilon_2}^2=gR$

Кинетическая энергия шарика в верхней точке петли:

$E_{k2}=\frac{m{\upsilon_2}^2}{2}$

Потенциальная энергия шарика в верхней точке петли:

$E_{pot2}=2mgR$

Таким образом, кинетическая энергия шарика, которая наличествовала в нижней точке петли, частично перейдет в потенциальную, когда он поднимется в верхнюю ее точку:

$E_{k2}+ E_{pot2}= E_{k1}$