Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Законы сохранения энергии

Задача о шарике и мертвой петле: продолжение.

К моей статье “Задача о шарике и мертвой петле” Сергей Блажевич предложил продолжение. Публикую  за его авторством.

“Ваш вариант задачи я решил использовать в лабораторной работе по методике преподавания физики в школе.

Я нашел подходящее оборудование и провел вместе со студентами опыты, результаты которых сравнил с вашим ответом .

Расхождения в экспериментальном значении Н было слишком большим, поэтому я решил учитывать и энергию вращательного движения шарика

(мне показалось  это интересным).

Что из этого вышло, я представляю вам во вложенном файле.

С уважением,

Сергей Блажевич”

Результаты опытов по движению шарика в мертвой петле демонстрируют явное несовпадение с результатом приведенного выше расчета. В этой связи предлагаю проводить расчет необходимой высоты начального положения шарика с учетом энергии вращательного движения шарика.

Пусть

   

кинетическая энергия поступательного движения шарика,

   

кинетическая энергия вращательного движения шарика,

где -масса шарика (или другого тела вращения), , –  скорость катящейся поверхности шарика,   –   радиус шарика.

В верхней точке «мертвой петли» радиуса R минимальное значение центробежного ускорения шарика на окружности петли

   

должно быть равным ускорению свободного падения шарика:

поэтому скорость

   

Если шарик катится без проскальзывания (скорость катящейся поверхности шарика (), то путь, пройденный точкой приложения силы трения относительно поверхности, по которой шарик катится, ,

и работа сил трения

   

а значит, потенциальная энергия шарика, имеющаяся в начале пути его движения может переходить только в кинетическую энергию. При этом энергия вращения шарика

   

   

откуда, подставляя (1), получаем

   

где  – радиус шарика.

Из (4) получаем

   

(ответ в общем виде для тела вращения).

Второе слагаемое в выражении для высоты  является добавкой, учитывающей вращательное движение шарика (или другого вращающегося тела с моментом инерции ). Известно, что момент инерции шарика относительно оси, проходящей через его центр,         , поэтому минимальная высота начальной точки движения шарика из (5)

   

Откуда видно, что учет кинетической энергии скатывающегося шарика в верхней точке его траектории на «мертвой петле» добавляет значению высоты величину равную одной пятой радиуса окружности петли.

 

Ответ

Замечание.

Условие «непроскальзывания» шарика при его движении (качении) по наклонной плоскости и в «мертвой петле» является главным условием для совпадения результатов расчета и эксперимента по движению шарика в мертвой петле без отрыва от ее поверхности. Если это условие не будет выполнено (т.е. S××¹0), то часть потенциальной энергии шарика, которую он имеет в начальной точке его движения, уйдет на работу сил трения и шарик в мертвой петле сорвется вниз, не закончив своего движения по окружности петли. Условие непроскальзывания может быть выполнено, например, если скатывается резиновый шарик. Для стального шарика (любого диаметра), двигающегося по наклонной плоскости и в петле, выполненных из дюралюминия, необходимо значительно увеличивать высоту начальной точки его движения для того, что он не отрывался от поверхности петли, не добравшись до ее верхней точки. Это означает, что сила трения шарика об поверхность, по которой он скатывается, оказывается меньше, чем сила, скатывающая его по наклонной плоскости, и часть его энергия будет тратиться на работу силы трения.

Эти опыты оказались весьма наглядными и впечатляющими, а законы механики Ньютона в них торжествуют.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *