Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: ОГЭ 26 (ГИА С6)

Задача о прямоугольной трапеции – С6 ГИА 2014

Задача не самая сложная, однако требует внимательности при алгебраических упрощениях.

Дана трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. В эту трапецию вписана окружность радиуса r. Необходимо найти этот радиус, если известно,что площадь одного из треугольников, образованных пересекающимися диагоналями, равна S.

Сделаем чертеж:

Чертеж к задаче

Фиолетовым цветом помечены диаметры окружности, между прочим, высота трапеции – как раз диаметр окружности, или два радиуса. Площадь треугольника MBC, образованного пересекающимися диагоналями и боковой стороной трапеции,  равна S (из условия задачи). Можно также заметить, что площадь второго треугольника, выделенного зеленым цветом – AMD – также S. Почему? Рассмотрим треугольники АВС и ABD. Их площади равны, так как у них общее основание – АВ – и равные высоты (высота трапеции – 2r). Тогда их площади равны. В состав треугольника ABC входят треугольники AMB и BMC, в состав ABD – треугольники AMB и AMD. Тогда, если вычесть площадь треугольника AMB, то и получится: S{Delta}AMD=S{Delta}BMC=S.

Тогда площадь нашей трапеции можно записать, с одной стороны, по всем известной формуле, а с другой – как сумму площадей треугольников.

Обратим внимание также на то, что основания трапеции содержат в себе радиус окружности и еще отрезок (a или b). Эти два отрезка в сумме образуют вторую боковую линию трапеции, которая не является перпендикулярной основаниям – по свойству касательных к окружности. Теперь почти вся необходимая теория записана, и можно начать составлять уравнения, которые позволят эту задачу решить. Поскольку дана площадьS треугольника BMC, то и отталкиваться мы будем от площади.

Сначала запишем площадь трапеции как полусумму оснований на высоту: S={{(a+r)+(b+r)}/2}2r

Сократим:  S={(a+b+2r)}r

Теперь запишем площадь трапеции как сумму площадей треугольников: SABCD=S{Delta}AMB+S{Delta}DMC+2S. Здесь нам нужно приостановиться –  для того, чтобы найти площади треугольников DMC и AMB. Их площади равны половине произведения основания на высоту, причем их высоты (обозначим их h и H) в сумме дают высоту трапеции: 2r=H+h. Тогда:

{lbrace}matrix{2}{1}{{S={(a+b+2r)}r} {2r=H+h}}

Но: у нас два уравнения, и четыре неизвестных – H, h, a,b – и это не считая искомого радиуса! Надо как-то от “лишних” переменных избавиться. Для этого рассмотрим рисунок:

Решение и дополнительные построения

Здесь нас интересует треугольник OBC. Он прямоугольный (доказательство не приводится, это нетрудно увидеть, рассмотрев треугольники, для которых красные линии являются гипотенузами). Голубым цветом выделен радиус окружности r – для треугольника OBC он является высотой. По свойству высоты,опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника из вершины прямого угла, можем записать: {r^2=ab}.

Но этого по-прежнему мало. Нужно заняться высотами H и h. Вернемся к прежнему рисунку. Треугольники AMB и DMC подобны – по трем углам. Тогда их высоты пропорциональны друг другу, что можно записать так:

h/H={r+a}/{r+b}

или

{2r-H}/H={r+a}/{r+b}

По правилу пропорции:

(2r-H)(r+b)=H(r+a)

Откуда:

2r^2+2rb-Hr-Hb=H(a+b+2r)

Выразим высоту треугольника DMC: H=2r(r+b)/{a+b+2r}, тогда h=2r(r+a)/{a+b+2r}

В первом уравнении нашей системы приравняем два полученных нами выше выражения для площади трапеции. Тогда уравнение приобретет вид:

S{Delta}AMB+S{Delta}DMC+2S=H(a+b+2r)

или

(r+a)h/2+(r+b)H/2+2S=H(a+b+2r)

2S+r(H+h)/2+{ah+bH}/2=H(a+b+2r)

Раскрываем скобки и упрощаем:

2S=a(r-h/2)+b(r-H/2)

Подставим высоты – H и h.

2S=a(r-r(r+a)/{a+b+2r})+b(r-r(r+b)/{a+b+2r})

Снова упрощаем, при этом помня, что {r^2=ab}. Тогда:

2S=a({rb+r^2}/{a+b+2r})+b({ra+r^2}/{a+b+2r})

Приводим к общему знаменателю:

2S={rab+ar^2+br^2+rab}/{a+b+2r}

Тогда:

2S={2r^3+r^2(a+b)}/{a+b+2r}

Или:

2S=r^2(2r+a+b)/{a+b+2r}

Или:

2S=r^2

Откуда, наконец:

r=sqrt{2S}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *