Задача не самая сложная, однако требует внимательности при алгебраических упрощениях.
Дана трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. В эту трапецию вписана окружность радиуса r. Необходимо найти этот радиус, если известно,что площадь одного из треугольников, образованных пересекающимися диагоналями, равна S.
Сделаем чертеж:

Чертеж к задаче
Фиолетовым цветом помечены диаметры окружности, между прочим, высота трапеции – как раз диаметр окружности, или два радиуса. Площадь треугольника MBC, образованного пересекающимися диагоналями и боковой стороной трапеции, равна S (из условия задачи). Можно также заметить, что площадь второго треугольника, выделенного зеленым цветом – AMD – также S. Почему? Рассмотрим треугольники АВС и ABD. Их площади равны, так как у них общее основание – АВ – и равные высоты (высота трапеции – 2r). Тогда их площади равны. В состав треугольника ABC входят треугольники AMB и BMC, в состав ABD – треугольники AMB и AMD. Тогда, если вычесть площадь треугольника AMB, то и получится: .
Тогда площадь нашей трапеции можно записать, с одной стороны, по всем известной формуле, а с другой – как сумму площадей треугольников.
Обратим внимание также на то, что основания трапеции содержат в себе радиус окружности и еще отрезок (a или b). Эти два отрезка в сумме образуют вторую боковую линию трапеции, которая не является перпендикулярной основаниям – по свойству касательных к окружности. Теперь почти вся необходимая теория записана, и можно начать составлять уравнения, которые позволят эту задачу решить. Поскольку дана площадьS треугольника BMC, то и отталкиваться мы будем от площади.
Сначала запишем площадь трапеции как полусумму оснований на высоту:
Сократим:
Теперь запишем площадь трапеции как сумму площадей треугольников: . Здесь нам нужно приостановиться – для того, чтобы найти площади треугольников DMC и AMB. Их площади равны половине произведения основания на высоту, причем их высоты (обозначим их h и H) в сумме дают высоту трапеции:
. Тогда:
Но: у нас два уравнения, и четыре неизвестных – H, h, a,b – и это не считая искомого радиуса! Надо как-то от “лишних” переменных избавиться. Для этого рассмотрим рисунок:

Решение и дополнительные построения
Здесь нас интересует треугольник OBC. Он прямоугольный (доказательство не приводится, это нетрудно увидеть, рассмотрев треугольники, для которых красные линии являются гипотенузами). Голубым цветом выделен радиус окружности r – для треугольника OBC он является высотой. По свойству высоты,опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника из вершины прямого угла, можем записать: .
Но этого по-прежнему мало. Нужно заняться высотами H и h. Вернемся к прежнему рисунку. Треугольники AMB и DMC подобны – по трем углам. Тогда их высоты пропорциональны друг другу, что можно записать так:
или
По правилу пропорции:
Откуда:
Выразим высоту треугольника DMC: , тогда
В первом уравнении нашей системы приравняем два полученных нами выше выражения для площади трапеции. Тогда уравнение приобретет вид:
или
Раскрываем скобки и упрощаем:
Подставим высоты – H и h.
Снова упрощаем, при этом помня, что . Тогда:
Приводим к общему знаменателю:
Тогда:
Или:
Или:
Откуда, наконец:
Ждем-с. Скоро...
Скоро сайт заработает нормально. Сама жду-не...
Спасибо за раздел "Олимпиадная физика". Ваш сайт-лучший сайт на эту...
Пример 2. При х=2.5,...
Уважаемая Анна Валерьевна! Можно еще раз спросить Вас, почему формулы в Ваших...