Задача о падении производства

[latexpage]

Задача про падение производства, может быть, с одной стороны, рассмотрена как подготовка к задаче 17, с другой – как подготовка к задаче 19 профильного ЕГЭ.

Задача. Техническая реконструкция предприятия была проведена в 4 этапа. Каждый из этапов продолжался целое число месяцев и сопровождался падением  производства. Ежемесячное падение производства составило на первом этапе 4%, на втором – 10%, на третьем – $\frac{50}{3}\%$, и на четвертом – 65%. По окончании реконструкции первоначальный объем производства на предприятии сократился на 93%. Определить продолжительность третьего этапа реконструкции.

Решение.

Пусть объем производства составлял $A$ единиц продукции. Тогда, если на первом этапе он сокращался ежемесячно на 4%, то оставшийся объем составил $A\cdot (0,96)^n$, если этот этап продолжался $n$ месяцев. Аналогично, на втором этапе он сокращался в $\frac{9}{10}$ раза, предположим, $k$ раз, тогда по окончании второго этапа объем производства составлял

$$ A\cdot (0,96)^n\cdot \left(\frac{9}{10}\right)^k$$

На третьем этапе объем сокращался на $\frac{50}{3}\%$, а это $\frac{50}{300}=\frac{1}{6}$, то есть «остаток» – $\frac{5}{6}$ объема. Пусть продолжительность третьего этапа – $m$ месяцев, тогда в конце его объем производства составлял

$$ A\cdot (0,96)^n\cdot \left(\frac{9}{10}\right)^k\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^m $$

Ну и на последнем этапе каждый месяц объем производства составлял 35% прежнего, значит, по окончании всей реконструкции объем производства равен (длительность 4-го этапа примем равной $l$ месяцам)

$$ A\cdot (0,96)^n\cdot \left(\frac{9}{10}\right)^k\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^m \cdot \left(\frac{35}{100}\right)^l $$

Окончательно от всего объема производства осталось 7%, то есть $\frac{7}{100}A$, составляем уравнение:

$$A\cdot (0,96)^n\cdot \left(\frac{9}{10}\right)^k\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^m \cdot \left(\frac{35}{100}\right)^l =\frac{7}{100}A $$

Преобразуем и упростим все, что возможно:

$$ \left(\frac{24}{25}\right)^n\cdot \left(\frac{9}{10}\right)^k\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^m \cdot \left(\frac{7}{20}\right)^l =\frac{7}{100} $$

Уже на этом этапе видно, что 7 справа в первой степени. Поэтому очевидно, что $l=1$, значит, можно записать наше равенство иначе:

$$ \left(\frac{24}{25}\right)^n\cdot \left(\frac{9}{10}\right)^k\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^m  =\frac{1}{5} $$

Разложим на простые множители:

$$\frac{2^{3n}\cdot 3^n\cdot3^{2k}\cdot 5^m}{5^{2n}\cdot2^k\cdot 5^k\cdot 2^m\cdot 3^m} =\frac{1}{5} $$

Соберем все степени, и справа, и слева:

$$\begin{Bmatrix}{ 3n-k-m=0}\\{ m-2n-k=-1}\\{ n+2k-m=0}\end{matrix}$$

Тогда из первого

$$3n=k+m$$

А из третьего

$$n=m-2k$$

Подставим:

$$3(m-2k)=k+m$$

$$2m=7k$$

$$m=3,5k$$
$$3n=4,5k$$

$$n=1,5k$$

Тогда, если $k=2$, то $m=7$, а $n=3$.

Ответ: третий этап длился 7 месяцев.