Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7)), Экономическая задача (17)

Задача о падении производства

Задача про падение производства, может быть, с одной стороны, рассмотрена как подготовка к задаче 17, с другой – как подготовка к задаче 19 профильного ЕГЭ.

Задача. Техническая реконструкция предприятия была проведена в 4 этапа. Каждый из этапов продолжался целое число месяцев и сопровождался падением  производства. Ежемесячное падение производства составило на первом этапе 4%, на втором – 10%, на третьем – \frac{50}{3}\%, и на четвертом – 65%. По окончании реконструкции первоначальный объем производства на предприятии сократился на 93%. Определить продолжительность третьего этапа реконструкции.

Решение.

Пусть объем производства составлял A единиц продукции. Тогда, если на первом этапе он сокращался ежемесячно на 4%, то оставшийся объем составил A\cdot (0,96)^n, если этот этап продолжался n месяцев. Аналогично, на втором этапе он сокращался в \frac{9}{10} раза, предположим, k раз, тогда по окончании второго этапа объем производства составлял

    \[A\cdot (0,96)^n\cdot \left(\frac{9}{10}\right)^k\]

На третьем этапе объем сокращался на \frac{50}{3}\%, а это \frac{50}{300}=\frac{1}{6}, то есть «остаток» – \frac{5}{6} объема. Пусть продолжительность третьего этапа – m месяцев, тогда в конце его объем производства составлял

    \[A\cdot (0,96)^n\cdot \left(\frac{9}{10}\right)^k\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^m\]

Ну и на последнем этапе каждый месяц объем производства составлял 35% прежнего, значит, по окончании всей реконструкции объем производства равен (длительность 4-го этапа примем равной l месяцам)

    \[A\cdot (0,96)^n\cdot \left(\frac{9}{10}\right)^k\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^m \cdot \left(\frac{35}{100}\right)^l\]

Окончательно от всего объема производства осталось 7%, то есть \frac{7}{100}A, составляем уравнение:

    \[A\cdot (0,96)^n\cdot \left(\frac{9}{10}\right)^k\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^m \cdot \left(\frac{35}{100}\right)^l =\frac{7}{100}A\]

Преобразуем и упростим все, что возможно:

    \[\left(\frac{24}{25}\right)^n\cdot \left(\frac{9}{10}\right)^k\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^m \cdot \left(\frac{7}{20}\right)^l =\frac{7}{100}\]

Уже на этом этапе видно, что 7 справа в первой степени. Поэтому очевидно, что l=1, значит, можно записать наше равенство иначе:

    \[\left(\frac{24}{25}\right)^n\cdot \left(\frac{9}{10}\right)^k\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^m  =\frac{1}{5}\]

Разложим на простые множители:

    \[\frac{2^{3n}\cdot 3^n\cdot3^{2k}\cdot 5^m}{5^{2n}\cdot2^k\cdot 5^k\cdot 2^m\cdot 3^m} =\frac{1}{5}\]

Соберем все степени, и справа, и слева:

    \[\begin{Bmatrix}{ 3n-k-m=0}\\{ m-2n-k=-1}\\{ n+2k-m=0}\end{matrix}\]

Тогда из первого

    \[3n=k+m\]

А из третьего

    \[n=m-2k\]

Подставим:

    \[3(m-2k)=k+m\]

    \[2m=7k\]

    \[m=3,5k\]

    \[3n=4,5k\]

    \[n=1,5k\]

Тогда, если k=2, то m=7, а n=3.

Ответ: третий этап длился 7 месяцев.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *