Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая задача на вычисление (задание 23), Геометрическая задача повышенной сложности (25), Нестандартные задачи, Планиметрия (16 (C4))

Задача о нахождении сторон треугольника по некоторым его параметрам

Интересная задача, в которой нужно не только помнить формулы геометрии, но и уметь решать задачи в целых числах.

Задача. Известно, что площадь треугольника равна S=\sqrt{3}, радиус вписанной в него окружности равен r=\frac{1}{\sqrt{3}}, а радиус описанной окружности – R=\frac{2}{\sqrt{3}}. Определите стороны треугольника.

Решение. Известна формула для площади треугольника:

    \[S=\frac{abc}{4R}\]

Значит,

    \[abc=\sqrt{3}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot 4=8\]

Также всем знакома формула

    \[S=pr\]

Следовательно,

    \[a+b+c=2\frac{S}{r}=3\cdot 2=6\]

Имеем систему:

    \[\begin{Bmatrix}{abc=8}\\{ a+b+c=6}\end{matrix}\]

Запишем из первого уравнения

    \[a=\frac{8}{bc}\]

    \[b=\frac{8}{ac}\]

    \[c=\frac{8}{ab}\]

Тогда второе уравнение перепишется как

    \[\frac{8}{bc}+\frac{8}{ac}+\frac{8}{ab}=6\]

Если второе уравнение умножить на 8, а затем разделить на квадрат второго, получим

    \[\frac{ab+bc+ac}{a^2b^2c^2}=\frac{3}{4}\]

Откуда

    \[ab+bc+ac=48\]

Вспомним также формулу Герона. У нас p=\frac{a+b+c}{2}=3

    \[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{3}\]

    \[\sqrt{3(3-a)(3-b)(3-c)}=\sqrt{3}\]

    \[(3-a)(3-b)(3-c)=1\]

Тогда видно, что a=2, b=2, c=2, их полусумма, действительно, 6, а произведение – 8.

Ответ: a=2, b=2, c=2.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *