Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая задача на вычисление (задание 23), Геометрическая задача повышенной сложности (25), Нестандартные задачи, Планиметрия (16 (C4))

Задача о нахождении сторон треугольника по некоторым его параметрам

[latexpage]

Интересная задача, в которой нужно не только помнить формулы геометрии, но и уметь решать задачи в целых числах.

Задача. Известно, что площадь треугольника равна $S=\sqrt{3}$, радиус вписанной в него окружности равен $r=\frac{1}{\sqrt{3}}$, а радиус описанной окружности – $R=\frac{2}{\sqrt{3}}$. Определите стороны треугольника.

Решение. Известна формула для площади треугольника:

$$S=\frac{abc}{4R}$$

Значит,

$$abc=\sqrt{3}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot 4=8$$

Также всем знакома формула

$$S=pr$$

Следовательно,

$$a+b+c=2\frac{S}{r}=3\cdot 2=6$$

Имеем систему:

$$\begin{Bmatrix}{abc=8}\\{ a+b+c=6}\end{matrix}$$

Запишем из первого уравнения

$$a=\frac{8}{bc}$$

$$b=\frac{8}{ac}$$

$$c=\frac{8}{ab}$$

Тогда второе уравнение перепишется как

$$\frac{8}{bc}+\frac{8}{ac}+\frac{8}{ab}=6$$

Если второе уравнение умножить на 8, а затем разделить на квадрат второго, получим

$$\frac{ab+bc+ac}{a^2b^2c^2}=\frac{3}{4}$$

Откуда

$$ab+bc+ac=48$$

Вспомним также формулу Герона. У нас $p=\frac{a+b+c}{2}=3$

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{3}$$

$$\sqrt{3(3-a)(3-b)(3-c)}=\sqrt{3}$$

$$(3-a)(3-b)(3-c)=1$$

Тогда видно, что $a=2, b=2, c=2$, их полусумма, действительно, 6, а произведение – 8.

Ответ: $a=2, b=2, c=2$.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *