Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Относительность движения

Задача о корабле и ветре


Задача. Корабль движется на запад со скоростью \upsilon. Известно, что ветер дует точно с юго-запада. Скорость ветра, измеренная на палубе корабля, равна u_0. Найдите скорость ветра относительно земли.

Задачи на относительность движения порой представляют собой  значительную трудность для школьников (и не только). Зато эти задачи, как правило, наиболее интересные.

Вектор измеренной скорости – результат суммирования векторов.

Выполним рисунок по тем данным, что имеются.

Так как u_0 – результат сложения векторов скорости корабля и скорости ветра, то, чтобы ее найти, выполним вычитание указаных векторов.  По закону сложения скоростей

    \[\vec{ u_0}=\vec{\upsilon }+\vec{u}\]

Тогда

    \[\vec{u}=\vec{ u_0}-\vec{\upsilon }\]

Разложим вектор \vec{u} на составляющие по осям. Оси введем так: ось x – на восток, ось y – на север. Тогда

    \[\vec{u}=\vec{u\cos{\alpha}}}+\vec{u\sin{\alpha}}\]

Тогда можем записать теорему Пифагора, уже в скалярном виде:

    \[(u\cos {\alpha}+\upsilon)^2+(u \sin{\alpha})^2=u_0^2\]

Надо определить u, поэтому раскроем скобки:

    \[u^2\cos^2 {\alpha}+2u \upsilon \cos {\alpha}+\upsilon^2+ u^2\sin^2 {\alpha}= u_0^2\]

Или, с применением основного тригонометрического тождества,

    \[u^2+2u \upsilon \cos {\alpha}+\upsilon^2= u_0^2\]

Имеем квадратное уравнение относительно u:

    \[u^2+2u \upsilon \cos {\alpha}+\upsilon^2-u_0^2=0\]

Определим дискриминант:

    \[D=4 \upsilon^2\cos^2 {\alpha}-4(\upsilon^2-u_0^2)= 4 \upsilon^2\cos^2 {\alpha}-4\upsilon^2+4u_0^2=\]

    \[=4 \upsilon^2(\cos^2 {\alpha}-1)+ 4u_0^2=4u_0^2-4 \upsilon^2\sin^2 {\alpha}=4(u_0^2- \upsilon^2\sin^2 {\alpha})\]

Определяем скорость ветра относительно земли:

    \[u=\frac{-2\upsilon \cos{\alpha } + \sqrt{4(u_0^2- \upsilon^2\sin^2 {\alpha})}}{2}\]

    \[u=\sqrt{(u_0^2- \upsilon^2\sin^2 {\alpha})}-\upsilon \cos{\alpha}\]

    \[u=\sqrt{(u_0^2- \upsilon^2\frac{1}{2})}-\upsilon \frac{1}{\sqrt{2}}\]

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *