Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Относительность движения

Задача о катере

Сегодняшняя статья посвящена одной-единственной задаче. Это задача на относительность движения. Задача оказалась непростой, поэтому предлагаю вам ее решение.

Задача. Катер движется из пункта А в пункт В все время вдоль прямой АВ. Скорость течения реки равна 2 м/с, скорость катера относительно неподвижной воды равна 9 м/с. Расстояние AB=l=1200 м. За какое время катер пройдет это расстояние, если линия АВ составляет с направлением течения угол \alpha=120^{\circ}?

Сделаем и рассмотрим картинку.

Рисунок 1

Лодочник должен направлять свой катер так, чтобы после сноса течением оказываться на линии АВ:

Рисунок 2

Рассмотрим треугольник AMN. У него угол \angle AMN равен 120^{\circ}, две стороны известны. Воспользуемся теоремой синусов для него, чтобы вычислить другие его углы:

    \[\frac{u}{\sin A}=\frac{\upsilon}{\sin 120^{\circ}}\]

Тогда

    \[\sin A=\frac{u\cdot \sin 120^{\circ}}{\upsilon}=\frac{\sqrt{3}}{9}\]

    \[\angle A=\arcsin{\frac{\sqrt{3}}{9}}=11^{\circ}\]

Следовательно, можно определить угол \angle N в треугольнике AMN. Сделаем это через сумму углов треугольника: \angle N=180^{\circ}-120^{\circ}-11^{\circ}=49^{\circ}.

Тогда, снова пользуясь теоремой синусов, находим скорость катера вдоль прямой АВ, или сторону AM в треугольнике AMN:

    \[\frac{u}{\sin A}=\frac{\upsilon_x}{\sin 49^{\circ}}\]

    \[\upsilon_x=\frac{u \cdot \sin 49^{\circ}}{\sin A }=7,85\]

Определяем время движения катера:

    \[t=\frac{l}{\upsilon_x }=\frac{1200}{7,85}=153\]

Получили время в секундах.

Второй способ: разложим скорость реки на две проекции: одна должна быть направлена вдоль линии АВ, вторая – перпендикулярно ей. Первую запишем как u \cos\beta, вторую – как u\sin \beta, где \beta=60^{\circ} – смежный с данным в задаче углом (обозначен на рисунке).

Рисунок 3

Тогда в прямоугольном треугольнике AHN можно записать:

    \[AH^2=AN^2-NH^2=\upsilon^2-(u\sin\beta)^2\]

    \[AH=\sqrt{\upsilon^2-u^2\sin^2\beta}\]

Искомая скорость равна тогда

    \[\upsilon_x=AH-u\cos \beta=\sqrt{\upsilon^2-u^2\sin^2\beta}- u\cos \beta\]

А время, затрачиваемое катером на переход АВ равно

    \[t=\frac{l}{\upsilon_x }=\frac{l}{\sqrt{\upsilon^2-u^2\sin^2\beta}- u\cos \beta }=\frac{1200}{\sqrt{9^2-2^2\cdot \frac{3}{4}}- 2\cdot 0,5 }=\frac{1200}{\sqrt{78}-1}=153,2\]

Ответ: 153 с или 2,5 минуты.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *