Задача о двух звуковых волнах

[latexpage]

Решила данную задачу оформить в виде статьи, потому что на решу ЕГЭ ее решение мне показалось не самым лучшим (оно непонятно).

Задача. Две одинаковые звуковые волны частотой 1 кГц распространяются навстречу друг другу. Расстояние между источниками волн очень велико. В точках А и В, расположенных на расстоянии 99 см друг от друга, амплитуда колебаний минимальна. На каком расстоянии от точки А находятся ближайшие к ней точки, в которой амплитуда колебаний также минимальна? Скорость звука в воздухе 330 м/с. Ответ укажите в метрах.

Решение. Изобразим эти две волны. Они симметричны и одинаковы, то есть их можно записать с помощью уравнений:

$$x_1=A\sin (\omega t+\varphi_0)$$

$$x_2=A\sin (\omega t+\pi-\varphi_0)$$

Эти две волны накладываются друг на друга – складываются. Давайте их сложим. Для этого используем формулу «сумма синусов»

$$ A\sin (\omega t+\varphi_0)+ A\sin (\omega t+\pi-\varphi_0)=2A \sin \frac{\omega t+\varphi_0+\omega t+\pi-\varphi_0}{2}\cos \frac{\omega t+\varphi_0-\omega t-\pi+\varphi_0}{2}=$$

$$=2A \sin (\omega t+\frac{\pi}{2})\cos(\varphi_0-\frac{\pi}{2})=2A\cos \omega t \cos \varphi_0 $$

Амплитуда полученной волны – $2A\cos \varphi_0$ – минимальна при $\cos \varphi_0=0$, то есть при $\varphi_0=\frac{\pi}{2}+\pi k$. То есть косинус, равный нулю, повторяется через $\pi$ – а это не что иное, как половина длины волны. Тогда

$$\frac{\lambda}{2}=\frac{\upsilon}{2\nu}=\frac{330}{2000}=0,165$$

Ответ: 16,5 см