Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Кинематика, Олимпиадная физика

Задача о двух дорогах

Еще одна задача на кинематику. Мало физики – больше математики. Но это мое мнение.

Задача. Две дороги, прямая и кольцевая радиуса R, имеют одну общую точку. В точке их касания стоят два автомобиля. Один из них начинает двигаться по прямой дороге равномерно со скоростью \upsilon. Другой автомобиль двигается по кольцевой дороге так, чтобы все время находиться на отрезке, соединяющем первый автомобиль с центром кольцевой дороги. Определите величину ускорения второго автомобиля в тот момент, когда он прошел по кольцевой дороге дугу величины \alpha.

Рисунок к задаче

Решение. Разложим скорость первого автомобиля на две составляющие: перпендикулярную отрезку, соединяющему первый автомобиль с центром кольцевой дороги (\upsilon \cos \alpha), и совпадающую по направлению с этим отрезком (\upsilon \sin \alpha).

Получается, линейная скорость данного отрезка при его вращении равна \upsilon \cos \alpha, а угловая скорость равна

    \[\omega=\frac{\upsilon \cos \alpha}{l}\]

Такова же и угловая скорость второго автомобиля.

Две дороги – векторы скоростей

Его линейная скорость тогда

    \[u=\omega R=\upsilon \cos^2\alpha\]

А его нормальное ускорение тогда

    \[a_n =\frac{u^2}{R}=\frac{\upsilon^2 \cos^4\alpha}{R}\]

Так как

    \[u=\upsilon \cos^2\alpha=\frac{\upsilon R^2}{l^2}~~~~~~~~~~~(1)\]

То понятно, что скорость u уменьшается (числитель постоянен, знаменатель растет). То есть второй автомобиль замедляет свое движение по окружности – он имеет тангенциальную составляющую ускорения, причем она направлена против u.

Пусть \Delta u – уменьшение скорости второго автомобиля за промежуток времени \Delta t.

По аналогии с (1), запишем новую скорость:

    \[u-\Delta u=\frac{\upsilon R^2}{(l+\Delta l)^2}\]

Выразим \Delta u:

    \[\Delta u=\frac{\upsilon R^2}{l^2}-\frac{\upsilon R^2}{(l+\Delta l)^2}=\frac{\upsilon R^2(l+\Delta l)^2-\upsilon R^2l^2}{l^2(l+\Delta l)^2}=\]

    \[=\frac{\upsilon R^2(l^2+2l\Delta l+\Delta l^2-l^2)}{l^2(l+\Delta l)^2}=\frac{\upsilon R^2(2l\Delta l+\Delta l^2)}{l^2(l+\Delta l)^2}\]

Пренебрегаем в числителе величиной \Delta l^2 – второго порядка малости.

    \[\Delta u=\frac{\upsilon R^2\cdot 2l\Delta l}{l^2(l+\Delta l)^2}\]

А в знаменателе можно заменить сумму l+\Delta l на l, так как \Delta l – мала.

Получим:

    \[\Delta u=\frac{\upsilon R^2\cdot 2l\Delta l}{l^4}=\frac{\upsilon R^2\cdot 2\Delta l}{l^3}\]

С другой стороны, \Delta l – расстояние, пройденное со скоростью \upsilon \sin \alpha за время \Delta t:

    \[\Delta l=\upsilon \sin \alpha\Delta t\]

А тангенциальное ускорение второго автомобиля – это изменение его скорости за время \Delta t:

    \[a_{\tau}=\frac{\Delta u}{\Delta t}=\frac{2\upsilon R^2\cdot \Delta l }{l^3\Delta t}=\frac{2\upsilon R^2\cdot \upsilon \sin \alpha}{l^3}=\frac{2\upsilon^2 R^2\cdot\sin \alpha}{l^3}\]

Перепишем так:

    \[a_{\tau}=\frac{2\upsilon^2 \cdot\sin \alpha}{l}\cdot \frac{R^2}{l^2}=\frac{2\upsilon^2 \cdot\sin \alpha\cos^2 \alpha}{l}\]

    \[a_{\tau}=\frac{2\upsilon^2 \cdot\sin \alpha\cos^3 \alpha}{R}\]

Ну вот, теперь у нас есть обе составляющие ускорения, и мы можем найти его:

    \[a=\sqrt{a_n^2+a_{\tau}^2}=\sqrt{\left(\frac{\upsilon^2\cos^4\alpha}{R}\right)^2+\left(\frac{2\upsilon^2 \cdot\sin \alpha\cos^3 \alpha }{R}\right)^2}\]

    \[a=\frac{\upsilon^2}{R}\cos^3 \alpha\sqrt{\cos^2\alpha+2\sin^2 \alpha}=\frac{\upsilon^2}{R}\cos^3 \alpha\sqrt{1+3\sin^2 \alpha}\]

Ответ: a=\frac{\upsilon^2}{R}\cos^3 \alpha\sqrt{1+3\sin^2 \alpha}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *