Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Задача о двух бассейнах

Задача о двух бассейнах хороша как подготовка к задаче 19 профильного ЕГЭ.

Задача. Имеются два бассейна, причем первый вдвое большего объема, чем второй. Эти бассейны наполняются трубами одинаковой производительности. Известно, что второй бассейн наполняется на полчаса дольше первого. Если бы к трубам, наполняющим второй бассейн, были добавлены две трубы, то время наполнения этого бассейна сократилось бы на полтора часа. Определить количество труб, наполняющих каждый бассейн.

Решение.  Пусть объем первого бассейна – 2V, а второго – V. Пусть первый бассейн наполняют m труб, а второй – n. Пусть время заполнения первого бассейна – t, тогда

    \[t=\frac{2V}{m}\]

Производительность труб здесь принята за единицу.

Время заполнения второго бассейна – t+0,5, и оно может быть записано как

    \[t+0,5=\frac{V}{n}\]

Если второй бассейн будут заполнять n+2 трубы, то время его заполнения сократится на полтора часа и составит t-1, тогда

    \[t-1=\frac{V}{n+2}\]

Вычитая из предпоследнего уравнения последнее, имеем

    \[1,5=\frac{V}{n}-\frac{V}{n+2}\]

Приведем к общему знаменателю правую часть:

    \[1,5=V\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)=V\frac{n+2-n}{n(n+2)}=V\frac{2}{n(n+2)}\]

Или

    \[\frac{3}{4}= V\frac{1}{n(n+2)}\]

    \[V=\frac{3}{4}n^2+\frac{3}{2}n~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]

С другой стороны,

    \[V=(t+0,5)n\]

И

    \[V=(t-1)(n+2)\]

Или

    \[(t+0,5)n =(t-1)(n+2)\]

    \[tn+0,5n=tn+2t-n-2\]

Имеем

    \[2t=1,5n+2\]

    \[t=0,75n+1\]

Но \frac{2V}{m}=\frac{V}{n}-0,5=0,75n+1, откуда

    \[2V=0,75mn+m\]

А

    \[V=\frac{3}{8}mn+\frac{m}{2}\]

Приравняем это к (1):

    \[\frac{3}{8}mn+\frac{m}{2}=\frac{3}{4}n^2+\frac{3}{2}n\]

    \[3mn+4m=6n^2+12n\]

Легко выразить m:

    \[m(4+3n)= 6n^2+12n\]

    \[m=\frac{6n^2+12n }{4+3n }\]

Выделим целую часть

    \[m=\frac{2n(3n+4)+4n}{3n+4}\]

    \[m=2n+\frac{4n}{3n+4}\]

Второе слагаемое является целым при n=4, при всех остальных числитель меньше знаменателя.

Решение этого уравнения в целых числах m=9 при n=4. Проверка показывает, что объем бассейна равен 18 единицам и время его заполнения t=4. Количество труб найдено верно (если подставить найденные значения в самые первые уравнения задачи, все сходится по времени и объемам).

Ответ: первый бассейн заполняется 9-ю трубами, второй – 4-мя.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *