Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Экономическая задача (17)

Задача о делении бригады рабочих на два объекта

Задача на оптимальный выбор, относящаяся к задачам 17 из профильного  ЕГЭ.

Задача. В распоряжении прораба имеется бригада рабочих в составе 28 человек. Их нужно распределить на строительство двух частных домов, находящихся в разных местах. Если на строительстве первого дома работает t человек, то их суточная зарплата составляет 5t^2 денежных единиц. Если на строительстве второго дома работает t человек, то их суточная зарплата составляет 3t^2 денежных единиц. Дополнительные суточные накладные расходы  (транспорт, питание и т.п.) составляют 4 ден. ед. в расчете на одного рабочего на первом объекте и 3 ден. ед. в расчете на одного рабочего на втором объекте. Как нужно распределить рабочих бригады, чтобы все выплаты на их суточное содержание (т.е. зарплата и суточные накладные расходы) оказались наименьшими?

Решение.

Если на первом объекте работают x рабочих, то их зарплата составит 5x^2, а накладные расходы – 4x денежных единиц.

Если на втором объекте работают y рабочих, то их зарплата составит 3y^2, а накладные расходы – 3y денежных единиц.

Так как x+y=28, то y=28-x, тогда общая сумма затрат по обоим объектам равна

    \[A=5x^2+4x+3y^2+3y=5x^2+4x+3(28-x)^2+3(28-x)\]

    \[A=5x^2+4x+3(28^2-56x+x^2+3\cdot 28-3x=8x^2-167x+3\cdot28^2+3\cdot28\]

Чтобы найти минимум этой функции, возьмем производную и приравняем ее к нулю:

    \[A'=16x-167=0\]

    \[x=\frac{167}{16}=10,4\]

Проверяя величину А в точках x=10 и x=11, получаем, что

A(10)<A(11). Таким образом, рабочих надо разделить на 10 и 18 человек: на первый объект 10, на второй – 18.

Ответ: 10 и 18.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *