Задача о бруске и тележке

Задача о бруске и тележке, которую можно решать по-разному: либо используя кинематические связи, либо через скорости и их проекции.

Задача. Небольшой брусок через систему блоков связан с тележкой нерастяжимой нитью. Тележку приводят в движение с постоянной скоростью $\upsilon= 2$ м/ с. Какую скорость $u$ относительно тележки будет иметь брусок в тот момент, когда угол между наклонной нитью и горизонтом составит $\alpha= 19^{\circ}$ .

Ответ выразить в м/с, округлить до десятых.

Рисунок к задаче

Способ 1, с использованием кинематических связей. Обозначим длины участков:

К способу 1

Длина нити постоянна, и складывается из длин отрезков $d, f, k$ и тех кусков нити, что лежат на блоках. Из этих отрезков длина отрезка $k$ постоянна. Меняться могут только длины отрезков $d$ , $x$ и $f$ .

Длина отрезка $d$ может быть записана как

$d^2=(x+f)^2+k^2$

$d+f+k=L=const$

Тогда производная от второго условия

$d'+f'=0$

Или

$d'=-f'=-\upsilon$

А производная от первого уравнения

$2d\cdot d'=2(x+f)(f'+x')$

Но

$x' =-u$

Таким образом

$-2d\cdot \upsilon=2(x+f)(\upsilon-u)$

Из геометрии

$(x+f) =d\cdot \cos\alpha$

Подставим

$d\cdot \upsilon=(x+f)(u-\upsilon)$

$d\cdot \upsilon=d\cdot\cos\alpha (u-\upsilon)$

$\upsilon=\cos\alpha \cdot (u-\upsilon)$

$u=\frac{\upsilon (1+\cos\alpha)}{ \cos\alpha}$

Вычисляем

$u=\frac{2 (1+\cos 19^{\circ})}{\cos 19^{\circ}}=4,1$

Способ 2, через проекции скоростей.

Любая точка веревки имеет скорость (проекцию на направление веревки), равную $\upsilon$ . Относительно пола скорости разных точек веревки будут различными (например, у вертикального отрезка – 0). Точка нижнего конца тоже будет иметь проекцию скорости на направление веревки, равное $\upsilon$ – а ведь это скорость бруска. Тогда скорость бруска относительно стола равна

$r=\frac{\upsilon}{\cos{\alpha}}$

К способу 2

А скорость системы отсчета, связанной с тележкой, равна $\upsilon$ . Мы ищем скорость бруска относительно данной системы отсчета. Применяем классический закон сохранения скоростей.

$\vec{r}=\vec{\upsilon}+\vec{u}$

В проекциях на горизонтальную ось

$\frac{\upsilon}{\cos{\alpha}}=u-\upsilon$

Откуда

$u=\frac{\upsilon (1+\cos\alpha)}{ \cos\alpha}$

Вычисляем

$u=4,1$

Ответ: 4,1 м/с

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Сен
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31

Задача о бруске и тележке

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Профи.ру

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы