Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Без рубрики

Задача о бруске и тележке

Задача о бруске и тележке, которую можно решать по-разному: либо используя кинематические связи, либо через скорости и их проекции.

Задача. Небольшой брусок через систему блоков связан с тележкой нерастяжимой нитью. Тележку приводят в движение с постоянной скоростью \upsilon= 2 м/ с. Какую скорость u относительно тележки будет иметь брусок в тот момент, когда угол между наклонной нитью и горизонтом составит \alpha= 19^{\circ}.

Ответ выразить в м/с, округлить до десятых.

Рисунок к задаче

Способ 1, с использованием кинематических связей. Обозначим длины участков:

К способу 1

Длина нити постоянна, и складывается из длин отрезков d, f, k и тех кусков нити, что лежат на блоках. Из этих отрезков длина отрезка k постоянна. Меняться могут только длины отрезков d, x и f.

Длина отрезка d может быть записана как

    \[d^2=(x+f)^2+k^2\]

    \[d+f+k=L=const\]

Тогда производная от второго условия

    \[d'+f'=0\]

Или

    \[d'=-f'=-\upsilon\]

А производная от первого уравнения

    \[2d\cdot d'=2(x+f)(f'+x')\]

Но

    \[x' =-u\]

Таким образом

    \[-2d\cdot \upsilon=2(x+f)(\upsilon-u)\]

Из геометрии

    \[(x+f) =d\cdot \cos\alpha\]

Подставим

    \[d\cdot \upsilon=(x+f)(u-\upsilon)\]

    \[d\cdot \upsilon=d\cdot\cos\alpha (u-\upsilon)\]

    \[\upsilon=\cos\alpha \cdot (u-\upsilon)\]

    \[u=\frac{\upsilon (1+\cos\alpha)}{ \cos\alpha}\]

Вычисляем

    \[u=\frac{2 (1+\cos 19^{\circ})}{\cos 19^{\circ}}=4,1\]

 

Способ 2, через проекции скоростей.

Любая точка веревки имеет скорость (проекцию на направление веревки), равную \upsilon. Относительно пола скорости разных точек веревки будут различными (например, у вертикального отрезка – 0). Точка нижнего конца тоже будет иметь проекцию скорости на направление веревки, равное \upsilon – а ведь это скорость бруска. Тогда скорость бруска относительно стола равна

    \[r=\frac{\upsilon}{\cos{\alpha}}\]

К способу 2

 

А скорость системы отсчета, связанной с тележкой, равна \upsilon. Мы ищем скорость бруска относительно данной системы отсчета. Применяем классический закон сохранения скоростей.

    \[\vec{r}=\vec{\upsilon}+\vec{u}\]

В проекциях на горизонтальную ось

    \[\frac{\upsilon}{\cos{\alpha}}=u-\upsilon\]

Откуда

    \[u=\frac{\upsilon (1+\cos\alpha)}{ \cos\alpha}\]

Вычисляем

    \[u=4,1\]

Ответ: 4,1 м/с

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *