Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: ОГЭ 26 (ГИА С6), Планиметрия (16 (C4))

Задача номер 26 из 148 варианта ОГЭ с сайта Ларина.

Задача номер 26  из 148 варианта ОГЭ с сайта Ларина  Александра Александровича. Для ОГЭ – жесть!

Задача. Два параллельных основанию трапеции отрезка, соединяющих боковые стороны, равны 1,75 и 5. Один из них проходит через точку пересечения диагоналей, а другой  делит трапецию на две равновеликих. Найдите отношение отрезков боковой стороны, на которые делят ее два данных отрезка.

Решение. Давайте нарисуем трапецию, проведем диагонали, проведем указанные отрезки. Обозначим меньшее основание трапеции , большее – . Понятно, что отрезок , а при данном изображении трапеции.

Рисунок 1

1.Сначала займемся отрезком . Надо постараться выразить его длину через основания трапеции.

Треугольник подобен треугольнику по двум углам. Поэтому

   

   

Треугольник подобен треугольнику по двум углам.

Рисунок 2.

Поэтому

   

Откуда

   

Откуда

   

Треугольник подобен треугольнику по двум углам.

Рисунок 3.

Поэтому

   

Тогда

   

Тогда отрезок

   

2.Теперь отрезок на очереди. С ним нужно проделать то же самое: выразить его длину через длины оснований трапеции. Для этого составим систему.

Рисунок 4.

Площадь трапеции равна

   

Площадь трапеции равна

   

Площадь трапеции равна

   

Тогда можно записать, что

   

И

   

Раскрываем скобки в последнем:

   

   

   

Из первого

   

Тогда

   

Домножим справа и слева на .

   

   

   

Теперь составим систему:

   

Переписав второе уравнение системы, имеем

   

Подбором определяем корни: 1 и 7. Они удовлетворяют первому уравнению системы. Тогда и .

Кстати говоря, указанные свойства отрезков трапеции неплохо бы запомнить: пригодится когда-нибудь.

3.Наконец, мы можем заняться решением самой задачи. Для этого обозначим отрезки, отношение которых мы ищем, и .

Рисунок 5.

Проведем Отрезок параллельный . Тогда , . , . , . Из подобия треугольников и следует, что

   

   

   

Из подобия треугольников и следует, что

   

   

   

Откуда

   

В итоге .

Ответ: .

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *