Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая задача повышенной сложности (25), Планиметрия (16 (C4))

Задача номер 26 из 148 варианта ОГЭ с сайта Ларина.

[latexpage]

Задача номер 26  из 148 варианта ОГЭ с сайта Ларина  Александра Александровича. Для ОГЭ – жесть!

Задача. Два параллельных основанию трапеции отрезка, соединяющих боковые стороны, равны 1,75 и 5. Один из них проходит через точку пересечения диагоналей, а другой  делит трапецию на две равновеликих. Найдите отношение отрезков боковой стороны, на которые делят ее два данных отрезка.

Решение. Давайте нарисуем трапецию, проведем диагонали, проведем указанные отрезки. Обозначим меньшее основание трапеции $a$, большее – $b$. Понятно, что отрезок $FE=1,75$, а $MN=5$ при данном изображении трапеции.

Рисунок 1

1.Сначала займемся отрезком $FE$. Надо постараться выразить его длину через основания трапеции.

Треугольник $BOC$ подобен треугольнику $AOD$ по двум углам. Поэтому

$$\frac{AO}{OC}=\frac{b}{a}$$

$$\frac{BO}{OD}=\frac{a}{b}$$

Треугольник $AFO$ подобен треугольнику $AВС$ по двум углам.

Рисунок 2.

Поэтому

$$\frac{AO}{AC}=\frac{FO}{BC}$$

Откуда

$$FO=\frac{b\cdot OC}{AC}=\frac{b(AC-AO)}{AC}=b(1-\frac{AO}{AC})= b(1-\frac{FO}{b})$$

Откуда

$$FO=\frac{ab}{a+b}$$

Треугольник $OED$ подобен треугольнику $BCD$ по двум углам.

Рисунок 3.

Поэтому

$$\frac{OE}{BC}=\frac{OD}{BD}$$

Тогда

$$OE=BC\cdot\frac{OD}{BD}=b\cdot\frac{OD}{BO+OD}=b\cdot \frac{OD}{OD\left(1+\frac{b}{a}\right)}=\frac{ab}{a+b}$$

Тогда отрезок

$$FE=FO+OE=\frac{2ab}{a+b}$$

2.Теперь отрезок $MN$ на очереди. С ним нужно проделать то же самое: выразить его длину через длины оснований трапеции. Для этого составим систему.

Рисунок 4.

Площадь трапеции $MBCN$ равна

$$S_{MBCN}=\frac{MN+BC}{2}\cdot h_1$$

Площадь трапеции $AMND$ равна

$$S_{AMND}=\frac{MN+AD}{2}\cdot h_2$$

Площадь трапеции $ABCD$ равна

$$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot(h_1+h_2)$$

Тогда можно записать, что

$$(MN+a)\cdot h_1= (MN+b)\cdot h_2~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

И

$$(MN+a)\cdot h_1=(h_1+h_2)\frac{a+b}{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Раскрываем скобки в последнем:

$$MN\cdot h_1+b\cdoth_1=\frac{a h_1}{2}+\frac{b h_1}{2}+\frac{a h_2}{2}+\frac{b h_2}{2}$$

$$ MN\cdot h_1=\frac{a h_1}{2}-\frac{b h_1}{2}+\frac{a h_2}{2}+\frac{b h_2}{2}$$

$$ MN=\frac{a-b}{2}+\frac{ h_2}{h_1}\cdot\frac{a+b }{2}$$

Из первого

$$\frac{ h_2}{h_1}=\frac{b+MN}{a+MN}$$

Тогда

$$ MN=\frac{a-b}{2}+\frac{ b+MN }{ a+MN }\cdot\frac{a+b }{2}$$

Домножим справа и слева на $(a+MN)$.

$$ MN(a+MN)= \frac{a-b}{2}(a+MN)+ \frac{(a+b)(b+MN) }{2}$$

$$MN^2+a\cdot MN=\frac{(a-b)a}{2}+\frac{a-b}{2}MN+\frac{(a+b)b}{2}+\frac{(a+b)MN}{2}$$

$$MN^2=\frac{(a-b)a}{2}+\frac{(a+b)b}{2}=\frac{a^2+b^2}{2}$$

Теперь составим систему:

$$\begin{Bmatrix}{ \frac{2ab}{a+b}=1,75}\\{}\\{ \frac{a^2+b^2}{2}=5^2}\end{matrix}$$

Переписав второе уравнение системы, имеем

$$ a^2+b^2=50$$

Подбором определяем корни: 1 и 7. Они удовлетворяют первому уравнению системы. Тогда $BC=a=1$ и $AD=b=7$.

Кстати говоря, указанные свойства отрезков трапеции неплохо бы запомнить: пригодится когда-нибудь.

3.Наконец, мы можем заняться решением самой задачи. Для этого обозначим отрезки, отношение которых мы ищем, $x, y$ и $z$.

Рисунок 5.

Проведем Отрезок $CP$ параллельный $AB$. Тогда $AP=BC=1$, $DP=6$. $MK=BC=1$, $KN=4$. $FL=BC=1$, $LE=0,75$. Из подобия треугольников $LCE$ и $KCN$ следует, что

$$\frac{CE}{CN}=\frac{LE}{KN}$$

$$\frac{x}{x+y}=\frac{0,75}{4}$$

$$\frac{x}{y}=\frac{3}{13}$$

Из подобия треугольников $KCN$ и $PCD$ следует, что

$$\frac{KN}{PD}=\frac{CN}{ND}$$

$$\frac{x+y}{x+y+z}=\frac{4}{6}$$

$$\frac{\frac{16}{13}x}{\frac{16}{13}x+z}=\frac{2}{3}$$

Откуда

$$\frac{x}{z}=\frac{3}{8}$$

В итоге $x:y:z=3:13:8$.

Ответ: $x:y:z=3:13:8$.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *