[latexpage]
Задача на определение плотности погружаемого в воду камня.
Задача . Камень опустили на тонкой нити в цилиндрический сосуд, частично заполненный водой. Он оказался полностью погруженным в жидкость, не каcаясь ни стенок, ни дна сосуда. При этом через край сосуда вылилось 8% воды, а гидростатическое давление на его дно увеличилось на 12%. Определите плотность вещества камня, если его масса в 2 раза меньше массы оставшейся воды в сосуде. Плотность воды известна: $\rho=1$ г/см$^3$.
Сделаем рисунок:

Сосуд до погружения камня и после
Давление на дно вначале равно
$$p_1=\frac{mg}{S},$$
так как масса воды в сосуде была $m$. Затем масса воды уменьшилась на 8%, а значит, стала равна $0,92m$. Следовательно, масса камня равна $0,46m$. Давление на дно теперь равно
$$p_2=1,12p_1$$
Это новое давление складывается из давления столба воды и еще одного слагаемого, а именно, силы Архимеда, действующей на камень. Вода действует на камень с этой силой, а камень, в свою очередь, действует с такой же по модулю силой на воду по третьему закону Ньютона. Поэтому
$$p_2=\frac{0,92mg+F_A}{S}$$
Тогда
$$\frac{1,12mg}{S}=\frac{0,92mg+F_A}{S}$$
$$0,2mg=F_A=\rho g V_k$$
$$0,2m=\rho V_k$$
$$ V_k=\frac{0,2m }{\rho}=\frac{0,46m}{\rho_k}$$
$$\rho_k=\frac{0,46\rho}{0,2}=2,3\rho=2300$$
Ответ: плотность камня 2300 кг/м$3$.
Второй способ решения. Рассмотрим систему камень-сосуд. Поскольку сила Архимеда для такой системы внутренняя, то в уравнение равновесия она не войдет. На такую систему действует сила тяжести, равная
$$(m_k+0,92m)g=(0,92m+0,46m)g=1,38mg$$
Также на эту систему действует сила реакции со стороны дна. Эта сила равна силе давления воды:
$$N=\rho g \cdot 1,12h\cdot S$$
Также на систему действует сила натяжения нити. Поэтому
$$T+N=1,38mg$$
$$T+\rho g \cdot 1,12h\cdot S=1,38mg$$
На камень действует сила тяжести, сила Архимеда и сила натяжения нити:
$$F_A+T=0,46mg$$
$$\rho g V_k+T=0,46mg$$
Вычтем это уравнение из уравнения, составленного для системы:
$$1,12m-0,92m=\rho V_k$$
$$0,2m=\rho\cdot \frac{0,46m}{\rho_k}$$
$$ \rho_k=2,3\rho$$
Ответ: плотность камня 2300 кг/м$3$.
Комментариев - 2
Хорошая задача! Мы с ученицей ее третьим способом решили вообще без сил, через давление столба и объемы.
Попробую так тоже, спасибо.