Задача на определение плотности погружаемого в воду камня

[latexpage]

Задача на определение плотности погружаемого в воду камня.

Задача . Камень опустили на тонкой нити в цилиндрический сосуд, частично заполненный водой. Он оказался полностью погруженным в жидкость, не каcаясь ни стенок, ни дна сосуда. При этом через край сосуда вылилось 8% воды, а гидростатическое давление на его дно увеличилось на 12%. Определите плотность вещества камня, если его масса в 2 раза меньше массы оставшейся воды в сосуде. Плотность воды известна: $\rho=1$ г/см$^3$.

Сделаем рисунок:

Сосуд до погружения камня и после

Давление на дно вначале равно

$$p_1=\frac{mg}{S},$$

так как масса воды в сосуде была $m$. Затем масса воды уменьшилась на 8%, а значит, стала равна $0,92m$. Следовательно, масса камня равна $0,46m$. Давление на дно теперь равно

$$p_2=1,12p_1$$

Это новое давление складывается из давления столба воды и еще одного слагаемого, а именно, силы Архимеда, действующей на камень. Вода действует на камень с этой силой, а камень, в свою очередь, действует  с такой же по модулю силой на воду по третьему закону Ньютона. Поэтому

$$p_2=\frac{0,92mg+F_A}{S}$$

Тогда

$$\frac{1,12mg}{S}=\frac{0,92mg+F_A}{S}$$

$$0,2mg=F_A=\rho g V_k$$

$$0,2m=\rho  V_k$$

$$ V_k=\frac{0,2m }{\rho}=\frac{0,46m}{\rho_k}$$

$$\rho_k=\frac{0,46\rho}{0,2}=2,3\rho=2300$$

Ответ: плотность камня 2300 кг/м$3$.

Второй способ решения. Рассмотрим систему камень-сосуд. Поскольку сила Архимеда для такой системы внутренняя, то в уравнение равновесия она не войдет. На такую систему действует сила тяжести, равная

$$(m_k+0,92m)g=(0,92m+0,46m)g=1,38mg$$

Также на эту систему действует сила реакции со стороны дна. Эта сила равна силе давления воды:

$$N=\rho g \cdot 1,12h\cdot S$$

Также на систему действует сила натяжения нити. Поэтому

$$T+N=1,38mg$$

$$T+\rho g \cdot 1,12h\cdot S=1,38mg$$

На камень действует сила тяжести, сила Архимеда и сила натяжения нити:

$$F_A+T=0,46mg$$

$$\rho g V_k+T=0,46mg$$

Вычтем это уравнение из уравнения, составленного для системы:

$$1,12m-0,92m=\rho V_k$$

$$0,2m=\rho\cdot \frac{0,46m}{\rho_k}$$

$$ \rho_k=2,3\rho$$

Ответ: плотность камня 2300 кг/м$3$.