Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Гидродинамика, Плотность вещества

Задача на определение плотности погружаемого в воду камня

Задача на определение плотности погружаемого в воду камня.

Задача . Камень опустили на тонкой нити в цилиндрический сосуд, частично заполненный водой. Он оказался полностью погруженным в жидкость, не каcаясь ни стенок, ни дна сосуда. При этом через край сосуда вылилось 8% воды, а гидростатическое давление на его дно увеличилось на 12%. Определите плотность вещества камня, если его масса в 2 раза меньше массы оставшейся воды в сосуде. Плотность воды известна: \rho=1 г/см^3.

Сделаем рисунок:

Сосуд до погружения камня и после

Давление на дно вначале равно

    \[p_1=\frac{mg}{S},\]

так как масса воды в сосуде была m. Затем масса воды уменьшилась на 8%, а значит, стала равна 0,92m. Следовательно, масса камня равна 0,46m. Давление на дно теперь равно

    \[p_2=1,12p_1\]

Это новое давление складывается из давления столба воды и еще одного слагаемого, а именно, силы Архимеда, действующей на камень. Вода действует на камень с этой силой, а камень, в свою очередь, действует  с такой же по модулю силой на воду по третьему закону Ньютона. Поэтому

    \[p_2=\frac{0,92mg+F_A}{S}\]

Тогда

    \[\frac{1,12mg}{S}=\frac{0,92mg+F_A}{S}\]

    \[0,2mg=F_A=\rho g V_k\]

    \[0,2m=\rho  V_k\]

    \[V_k=\frac{0,2m }{\rho}=\frac{0,46m}{\rho_k}\]

    \[\rho_k=\frac{0,46\rho}{0,2}=2,3\rho=2300\]

Ответ: плотность камня 2300 кг/м3.

Второй способ решения. Рассмотрим систему камень-сосуд. Поскольку сила Архимеда для такой системы внутренняя, то в уравнение равновесия она не войдет. На такую систему действует сила тяжести, равная

    \[(m_k+0,92m)g=(0,92m+0,46m)g=1,38mg\]

Также на эту систему действует сила реакции со стороны дна. Эта сила равна силе давления воды:

    \[N=\rho g \cdot 1,12h\cdot S\]

Также на систему действует сила натяжения нити. Поэтому

    \[T+N=1,38mg\]

    \[T+\rho g \cdot 1,12h\cdot S=1,38mg\]

На камень действует сила тяжести, сила Архимеда и сила натяжения нити:

    \[F_A+T=0,46mg\]

    \[\rho g V_k+T=0,46mg\]

Вычтем это уравнение из уравнения, составленного для системы:

    \[1,12m-0,92m=\rho V_k\]

    \[0,2m=\rho\cdot \frac{0,46m}{\rho_k}\]

    \[\rho_k=2,3\rho\]

Ответ: плотность камня 2300 кг/м3.

Комментариев - 2

  • Евгения
    |

    Хорошая задача! Мы с ученицей ее третьим способом решили вообще без сил, через давление столба и объемы.

    Ответить
    • Анна
      |

      Попробую так тоже, спасибо.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *