Задача на определение плотности погружаемого в воду камня

Задача на определение плотности погружаемого в воду камня.

Задача . Камень опустили на тонкой нити в цилиндрический сосуд, частично заполненный водой. Он оказался полностью погруженным в жидкость, не каcаясь ни стенок, ни дна сосуда. При этом через край сосуда вылилось 8% воды, а гидростатическое давление на его дно увеличилось на 12%. Определите плотность вещества камня, если его масса в 2 раза меньше массы оставшейся воды в сосуде. Плотность воды известна: $\rho=1$ г/см $^3$ .

Сделаем рисунок:

Сосуд до погружения камня и после

Давление на дно вначале равно

$p_1=\frac{mg}{S},$

так как масса воды в сосуде была $m$ . Затем масса воды уменьшилась на 8%, а значит, стала равна $0,92m$ . Следовательно, масса камня равна $0,46m$ . Давление на дно теперь равно

$p_2=1,12p_1$

Это новое давление складывается из давления столба воды и еще одного слагаемого, а именно, силы Архимеда, действующей на камень. Вода действует на камень с этой силой, а камень, в свою очередь, действует с такой же по модулю силой на воду по третьему закону Ньютона. Поэтому

$p_2=\frac{0,92mg+F_A}{S}$

Тогда

$\frac{1,12mg}{S}=\frac{0,92mg+F_A}{S}$

$0,2mg=F_A=\rho g V_k$

$0,2m=\rho V_k$

$V_k=\frac{0,2m }{\rho}=\frac{0,46m}{\rho_k}$

$\rho_k=\frac{0,46\rho}{0,2}=2,3\rho=2300$

Ответ: плотность камня 2300 кг/м $3$ .

Второй способ решения. Рассмотрим систему камень-сосуд. Поскольку сила Архимеда для такой системы внутренняя, то в уравнение равновесия она не войдет. На такую систему действует сила тяжести, равная

$(m_k+0,92m)g=(0,92m+0,46m)g=1,38mg$