Задача на колебания точки, где нужно уметь брать производную сложной функции

[latexpage]

Рассмотрим задачу, связанную с колебаниями из задачника «3800 задач» Турчиной и др. Задача для сильных школьников.

Задача. Точка совершает гармонические колебания по синусоидальному закону и в некоторый момент времени имеет модули смещения, скорости и ускорения: $x=4\cdot 10^{-2}$ м, $\upsilon=0,05$ м/с, $a=0,8$ м/с$^2$. Чему равна амплитуда и период колебаний точки? Чему равна фаза колебаний в рассматриваемый момент времени? Какова максимальная скорость и ускорение точки?

Решение. Так как известен закон колебаний – синус, то давайте запишем, как будет меняться координата точки:

$$x=x_0\sin \omega t$$

Чтобы записать закон изменения скорости, возьмем производную. Не забудем, что внутрь синуса вложена функция $\omega t$ (это сложная функция), поэтому от нее тоже надо взять производную.

$$\upsilon= x_0\omega \cos \omega t$$

Максимальная скорость равна $\upsilon_m= x_0\omega$.

Взяв еще одну производную, получим модуль ускорения:

$$a= x_0\omega^2 \sin \omega t$$

Так как текущие значения ускорения и координаты известны, можем разделить ускорение на координату, и таким образом получим:

$$\frac{a}{x}=\omega^2$$

$$\omega=\sqrt{\frac{a}{x}}=\sqrt{\frac{0,8}{0,04}}=\sqrt{20}$$

Теперь можем узнать период:

$$T=\frac{2\pi }{ \omega }=\frac{2\pi}{\sqrt{20}}=\frac{\pi}{\sqrt{5}}=1,4$$

$T=1,4$ с.

Разделив скорость на координату, получим:

$$\frac{\upsilon}{x}=\frac{\omega \cos \omega t }{\sin \omega t }=\omega \operatorname{ctg} {\omega t} $$

$$\frac{0,05}{0,04}=\sqrt{20} \operatorname{ctg} {\omega t} $$

$$\frac{\sqrt{20}}{1,25}= \operatorname{tg} {\omega t} $$

$$\operatorname{tg} {\omega t} =2, 86$$

Воспользуемся функцией «арктангенс» на калькуляторе, чтобы определить фазу:

$$\omega t=74,4^{\circ}$$

Если выразить эту фазу в радианах, можно определить, в какой момент времени мы наблюдаем точку:

$$t=\frac{0,83\pi}{\sqrt{20}}=0,58$$

Определяем амплитуду:

$$0,04=x_0\sin (74,4^{\circ})$$

$x_0=4,15$ см.

Максимальная скорость равна

$$\upsilon_m= x_0\omega=0,0415\cdot \sqrt{20}=0,19$$

Максимальное ускорение:

$$ a_m= x_0\omega^2=0,0415\cdot 20=0,83$$

Ответ: амплитуда колебаний – 4,15 см, максимальная скорость – 0, 19 м/с, максимальное ускорение – 0,83 м/с$^2$.