[latexpage]
Рассмотрим задачу, связанную с колебаниями из задачника «3800 задач» Турчиной и др. Задача для сильных школьников.
Задача. Точка совершает гармонические колебания по синусоидальному закону и в некоторый момент времени имеет модули смещения, скорости и ускорения: $x=4\cdot 10^{-2}$ м, $\upsilon=0,05$ м/с, $a=0,8$ м/с$^2$. Чему равна амплитуда и период колебаний точки? Чему равна фаза колебаний в рассматриваемый момент времени? Какова максимальная скорость и ускорение точки?
Решение. Так как известен закон колебаний – синус, то давайте запишем, как будет меняться координата точки:
$$x=x_0\sin \omega t$$
Чтобы записать закон изменения скорости, возьмем производную. Не забудем, что внутрь синуса вложена функция $\omega t$ (это сложная функция), поэтому от нее тоже надо взять производную.
$$\upsilon= x_0\omega \cos \omega t$$
Максимальная скорость равна $\upsilon_m= x_0\omega$.
Взяв еще одну производную, получим модуль ускорения:
$$a= x_0\omega^2 \sin \omega t$$
Так как текущие значения ускорения и координаты известны, можем разделить ускорение на координату, и таким образом получим:
$$\frac{a}{x}=\omega^2$$
$$\omega=\sqrt{\frac{a}{x}}=\sqrt{\frac{0,8}{0,04}}=\sqrt{20}$$
Теперь можем узнать период:
$$T=\frac{2\pi }{ \omega }=\frac{2\pi}{\sqrt{20}}=\frac{\pi}{\sqrt{5}}=1,4$$
$T=1,4$ с.
Разделив скорость на координату, получим:
$$\frac{\upsilon}{x}=\frac{\omega \cos \omega t }{\sin \omega t }=\omega \operatorname{ctg} {\omega t} $$
$$\frac{0,05}{0,04}=\sqrt{20} \operatorname{ctg} {\omega t} $$
$$\frac{\sqrt{20}}{1,25}= \operatorname{tg} {\omega t} $$
$$\operatorname{tg} {\omega t} =2, 86$$
Воспользуемся функцией «арктангенс» на калькуляторе, чтобы определить фазу:
$$\omega t=74,4^{\circ}$$
Если выразить эту фазу в радианах, можно определить, в какой момент времени мы наблюдаем точку:
$$t=\frac{0,83\pi}{\sqrt{20}}=0,58$$
Определяем амплитуду:
$$0,04=x_0\sin (74,4^{\circ})$$
$x_0=4,15$ см.
Максимальная скорость равна
$$\upsilon_m= x_0\omega=0,0415\cdot \sqrt{20}=0,19$$
Максимальное ускорение:
$$ a_m= x_0\omega^2=0,0415\cdot 20=0,83$$
Ответ: амплитуда колебаний – 4,15 см, максимальная скорость – 0, 19 м/с, максимальное ускорение – 0,83 м/с$^2$.
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...
Потому что дана не удельная, а просто теплоемкость - она уже внутри себя несет...