Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Колебания и волны

Задача на колебания точки, где нужно уметь брать производную сложной функции

Рассмотрим задачу, связанную с колебаниями из задачника «3800 задач» Турчиной и др. Задача для сильных школьников.

Задача. Точка совершает гармонические колебания по синусоидальному закону и в некоторый момент времени имеет модули смещения, скорости и ускорения: x=4\cdot 10^{-2} м, \upsilon=0,05 м/с, a=0,8 м/с^2. Чему равна амплитуда и период колебаний точки? Чему равна фаза колебаний в рассматриваемый момент времени? Какова максимальная скорость и ускорение точки?

Решение. Так как известен закон колебаний – синус, то давайте запишем, как будет меняться координата точки:

    \[x=x_0\sin \omega t\]

Чтобы записать закон изменения скорости, возьмем производную. Не забудем, что внутрь синуса вложена функция \omega t (это сложная функция), поэтому от нее тоже надо взять производную.

    \[\upsilon= x_0\omega \cos \omega t\]

Максимальная скорость равна \upsilon_m= x_0\omega.

Взяв еще одну производную, получим модуль ускорения:

    \[a= x_0\omega^2 \sin \omega t\]

Так как текущие значения ускорения и координаты известны, можем разделить ускорение на координату, и таким образом получим:

    \[\frac{a}{x}=\omega^2\]

    \[\omega=\sqrt{\frac{a}{x}}=\sqrt{\frac{0,8}{0,04}}=\sqrt{20}\]

Теперь можем узнать период:

    \[T=\frac{2\pi }{ \omega }=\frac{2\pi}{\sqrt{20}}=\frac{\pi}{\sqrt{5}}=1,4\]

T=1,4 с.

Разделив скорость на координату, получим:

    \[\frac{\upsilon}{x}=\frac{\omega \cos \omega t }{\sin \omega t }=\omega \operatorname{ctg} {\omega t}\]

    \[\frac{0,05}{0,04}=\sqrt{20} \operatorname{ctg} {\omega t}\]

    \[\frac{\sqrt{20}}{1,25}= \operatorname{tg} {\omega t}\]

    \[\operatorname{tg} {\omega t} =2, 86\]

Воспользуемся функцией «арктангенс» на калькуляторе, чтобы определить фазу:

    \[\omega t=74,4^{\circ}\]

Если выразить эту фазу в радианах, можно определить, в какой момент времени мы наблюдаем точку:

    \[t=\frac{0,83\pi}{\sqrt{20}}=0,58\]

Определяем амплитуду:

    \[0,04=x_0\sin (74,4^{\circ})\]

x_0=4,15 см.

Максимальная скорость равна

    \[\upsilon_m= x_0\omega=0,0415\cdot \sqrt{20}=0,19\]

Максимальное ускорение:

    \[a_m= x_0\omega^2=0,0415\cdot 20=0,83\]

Ответ: амплитуда колебаний – 4,15 см, максимальная скорость – 0, 19 м/с, максимальное ускорение – 0,83 м/с^2.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *