Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Законы сохранения энергии

Задача Гюйгенса

Христиан Гюйгенс считал: если шар вращать на невесомой и нерастяжимой нити в вертикальной плоскости, то нить должна выдерживать, по меньшей мере, силу натяжения, равную ушестеренной силе тяжести шара. Верно ли это?

Задача.  Христиан Гюйгенс считал: если шар вращать на невесомой и нерастяжимой нити в вертикальной плоскости, то нить должна выдерживать, по меньшей мере, силу натяжения, равную ушестеренной силе тяжести шара. Верно ли это?

Давайте рассуждать. Нить – не стержень, она не способна удержать шар в верхнем положении, если этот шар не будет обладать скоростью. Поэтому, чтобы шар мог не только достичь верхней точки траектории, но и пройти ее, необходимо, чтобы он обладал скоростью, которая обеспечит достаточное нормальное ускорение шара. Таким достаточным ускорением, очевидно, должно быть ускорение, равное ускорению свободного падения:

Шарик на нити

    \[ma_n=mg\]

Тогда для верхней точки траектории имеем:

    \[a_n=g=\frac{\upsilon^2}{L}\]

Откуда

    \[\upsilon^2=gL\]

Кроме того, если считать нижнюю точку нулевым уровнем потенциальной энергии, то в нижней точке E_{p0}=0, а в верхней E_p=mg\cdot 2L=2mgL.

Таким образом, в нижней точке шар обладает кинетической энергией, равной

    \[E_{k0}=\frac{m\upsilon_0^2}{2}\]

А в верхней точке у него есть как запас кинетической, так и потенциальной энергии:

    \[E_p+E_k=2mgL+\frac{m\upsilon^2}{2}\]

Тогда по закону сохранения энергии:

    \[\frac{m\upsilon_0^2}{2}=2mgL+\frac{m\upsilon^2}{2}\]

Разделим на массу и домножим на 2:

    \[\upsilon_0^2=4gL+\upsilon^2\]

Подставим скорость в верхней точке, найденную ранее:

    \[\upsilon_0^2=4gL+gl=5gl\]

Такая скорость обеспечит шару в нижней точке нормальное ускорение, равное a_{n0}=5g. Если вспомнить, что на шар действует еще и сила тяжести, равная mg, и записать для нижней точки второй закон Ньютона, то получим:

    \[mg+F_n=T\]

    \[T_0=mg+5mg=6mg\]

Выходит, Гюйгенс был прав.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *