Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая задача повышенной сложности (26)

Задача 26 из пробного ОГЭ, прошедшего 13 апреля

Мои ученики написали пробный ОГЭ 13 апреля, и конечно, мы разбирали некоторые из запомнившихся им задач, в основном те, что не удалось решить. Одна из задач – самая сложная, как правило,  вообще в любом ОГЭ – это 26-я. Привожу мое решение этой задачи.

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC  на расстояниях соответственно  9  и 11 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N  и касающейся луча AB, если \cos \angle {BAC}=\frac{\sqrt{11}}{6}.

Решение.

Рисунок к задаче

Обозначим центр окружности и проведем радиусы: в точку касания с лучом ABG,  а также в точки M и N. Перпендикуляр OI к хорде MN разобьет ее на два отрезка длиной 1: MI=IN=1. Тогда по теореме о касательной и секущей можем записать:

    \[AG^2=AM\cdot AN=99\]

    \[AG=\sqrt{99}=3\sqrt{11}\]

Определим синус \angle {BAC} по основному тригонометрическому тождеству:

    \[\sin \angle {BAC}=\sqrt{1-\cos^2 \angle {BAC}}=\sqrt{1-\frac{11}{36}}=\frac{5}{6}\]

Тогда тангенс этого угла:

    \[\operatorname{tg}{\angle {BAC}}=\frac{\sin \angle {BAC}}{\cos \angle {BAC}}=\frac{5}{\sqrt{11}}\]

Зная тангенс \angle {BAC} и длину отрезка AI, можем найти отрезок HI:

    \[\operatorname{tg}{\angle{BAC}}=\frac{HI}{AI}\]

    \[HI=AI\cdot \operatorname {tg}{\angle{BAC}}=\frac{50}{\sqrt{11}}\]

Теперь по теореме Пифагора найдем длину отрезка AH:

    \[AH^2=AI^2+HI^2\]

    \[AH=\sqrt{AI^2+HI^2}=\sqrt{10^2+\left(\frac{50}{\sqrt{11}}\right)^2}=\frac{60}{\sqrt{11}}\]

Найдем отрезок GH:

    \[GH=AH-AG=\frac{60}{\sqrt{11}}-3\sqrt{11}=\frac{27}{\sqrt{11}}\]

А теперь воспользуемся подобием треугольников AHI и OGH: оба прямоугольные и имеют общий угол. Тогда запишем для сходственных сторон:

    \[\frac{HI}{GH}=\frac{AI}{OG}\]

Здесь OG – искомый радиус окружности. Тогда:

    \[R=OG=\frac{AI\cdotGH}{HI}=\frac{270\sqrt{11}}{50\sqrt{11}}=5,4\]

Ответ: R=5,4.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *