Задача 26 из пробного ОГЭ, прошедшего 13 апреля

Мои ученики написали пробный ОГЭ 13 апреля, и конечно, мы разбирали некоторые из запомнившихся им задач, в основном те, что не удалось решить. Одна из задач – самая сложная, как правило,  вообще в любом ОГЭ – это 26-я. Привожу мое решение этой задачи.

Точки и лежат на стороне треугольника   на расстояниях соответственно  9  и 11 от вершины . Найдите радиус окружности, проходящей через точки и  и касающейся луча , если .

Решение.

Рисунок к задаче

Обозначим центр окружности и проведем радиусы: в точку касания с лучом – ,  а также в точки и . Перпендикуляр к хорде разобьет ее на два отрезка длиной 1: . Тогда по теореме о касательной и секущей можем записать:

Определим синус по основному тригонометрическому тождеству:

Тогда тангенс этого угла:

Зная тангенс и длину отрезка , можем найти отрезок :

Теперь по теореме Пифагора найдем длину отрезка :

Найдем отрезок :

А теперь воспользуемся подобием треугольников и : оба прямоугольные и имеют общий угол. Тогда запишем для сходственных сторон:

Здесь – искомый радиус окружности. Тогда:

Ответ: .