Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 10-11 класс, 16 (C4), Математика

Задача 16 – планиметрическая задача профильного ЕГЭ


Задача 1. Дан прямоугольник KLMN со сторонами KN=13, MN=6. Прямая, проходящая через вершину М, касается окружности с центром К радиуса 3 и пересекается с прямой KN в точке Q. Найдите QK.


 

Нарисуем картинку.

Прямоугольник и окружность

Кроме всего, что упомянуто в задаче, проведем еще радиус KS в точку касания прямой MQ и окружности. Этот радиус KS перпендикулярен прямой MQ, получили прямоугольный треугольник, один из катетов которого дан – это радиус окружности.

Если приглядеться, то становится понятно, что получившийся треугольник KSQ подобен треугольнику MNQ по двум углам: оба они прямоугольные, и имеют равные углы KQS и MQN (вертикальные). Поэтому все стороны этих треугольников будут относиться так же, как относятся и их катеты: KS/MN=KQ/QM=SQ/QN=3/6. Кроме того, можем записать, что KQ+QN=13 и SQ+ QM=SM. Отрезок SM можно найти из треугольника KSM, катет которого нам известен, , а гипотенузой будет являться диагональ прямоугольника, которую мы легко отыщем по теореме Пифагора:

KM=sqrt{KN^2+MN^2}=sqrt{13^2+6^2}=sqrt{205}

Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику KSM:

SM=sqrt{KM^2-KS^2}=sqrt{205-9}=sqrt{196}=14.

Тогда SQ+ QM=14. Тогда отношение подобия для треугольников KSQ и MNQ запишется так: KS/MN={13-QN}/{14-SQ}=SQ/QN=1/2.

Решаем пропорцию по правилу креста:

(13-QN)2=14-SQ

26-2QN=14-SQ

12-2QN=-SQ

Но из той же пропорции QN=2SQ, тогда

12-2QN=-QN/2

12=1,5QN

QN=8

Тогда KQ+QN=KQ+8=13

KQ=5

Ответ: 5.

 

 

Задача 2. Дан четырехугольник ABCD.

а) Докажите, что отрезки LN и KM, соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам.

б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если LM=3sqrt{3}, KM=6sqrt{3}, угол KML=60 {circ}.


 

Произвольный четырехугольник

Наш четырехугольник имеет право быть любым: не прямоугольником и не трапецией. Но, каким бы он ни был, мы всегда получим параллелограмм, соединив середины его сторон. Это так называемый параллелограмм Виньера. Действительно: отрезок KL является средней линией треугольника АВС, и значит, параллелен АС и равен его половине. Аналогично, отрезок NM – средняя линия треугольника ADC, и значит, параллелен АС и равен его половине. То есть равен  и параллелен KL.  Также точно доказываем, что отрезки KN  и LM  параллельны BD и равны его половине, а значит, параллельны друг другу и равны. То есть четырехугольник KLMN – параллелограмм, а диагонали параллелограмма, которыми являются LN и KM, делятся точкой пересечения пополам. С пунктом а) справились.

Теперь определим площадь четырехугольника ABCD.

Площадь четырехугольника можно определить, зная его диагонали и угол между ними, по формуле: S={1/2}d_1d_2sin {beta}, где d_1,d_2 – диагонали, beta – угол между ними.

Так как нам известна длина KN – средней линии треугольника ABD, то диагональ BD – его основание – равна 6sqrt{3}. Найдем длину диагонали АС. Для этого определим сначала длину отрезка NM – это можно сделать по теореме косинусов. Составим запись этой теоремы для треугольника NKM: в нем известны две стороны – KN и KM, и угол между ними, он равен NKM=KML=60 {circ}, как накрестлежащий. Тогда:NM^2=KN^2+KM^2-2*KN*KM*cos 60 {circ}.

NM^2=(3sqrt{3})^2+(6sqrt{3})^2-2*3sqrt{3}*6sqrt{3}*{1/2}.

NM^2=27+108-54=81

NM=9

Тогда длина диагонали AC=2NM=18

Определяем угол между диагоналями

Теперь надо бы угол между диагоналями определить. Так как диагонали в параллелограмме точкой пересечения делятся пополам, то длина отрезка КО 3sqrt{3} – то есть треугольник KON – равнобедренный, а поскольку угол при вершине K равен NKM=60 {circ}, то и два его других угла также равны 60 {circ}. Тогда треугольник KOM – равносторонний, а это значит, что его сторона NO также равна  3sqrt{3}, что означает, что и треугольник NOM – также равнобедренный. Значит, угол NOM равен 120 {circ} (как смежный с углом KON), а углы ONM и OMN – по 30 {circ}, и тогда угол KNM равен 90 {circ}, то есть KLMN не только параллелограмм, но и прямоугольник. Соответственно, и угол между диагоналями AC и BD также равен 90 {circ}, тогда площадь четырехугольника ABCD

S={1/2}*18*6sqrt{3}*sin 90{circ}=54sqrt{3}

Ответ: б) S_{ABCD}=54sqrt{3}

 

 

Задача 3. Две окружности касаются внешним образом в точке К. Прямая АВ касается первой окружности в точке А, а второй – в точке В. Прямая ВК пересекает первую окружность в точке D, Прямая АК пересекает вторую окружность в точке С.

a) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.


 

Проведем общую касательную к обеим окружностям а. Она пересечет прямую АВ в точке Т. Отрезки АТ и ТК  равны, как отрезки двух касательных, проведенных к окружности из одной точки – точки Т. Также равны отрезки ТВ и ТК. Таким образом, TK=TB=TA. ТК – медиана треугольника АВК, и, так как TK=TB=TA, то Т – центр описанной окружности треугольника ABK. Тогда угол AKB – прямой, так как является вписанным углом, опирающимся на центральный развернутый угол. Тогда прямыми являются и углы  AKD и BKC (как смежные), и треугольники AKD и  BKC – прямоугольные. Следовательно, AD и BC – диаметры окружностей, и углы DAT и ТBC  – прямые, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Две окружности и общая касательная

Острые углы треугольника АКВ обозначим alpha и beta.  Их сумма равна 90 {circ}, тогда угол  KAD равен beta, а угол KBC равен alpha, угол ADK равен alpha, угол KCB равен beta. Углы КАD и KCD являются накрест лежащими, и, раз они равны, то прямая AD параллельна ВС.

Две окружности и касательная. Ход решения

Переходим к пункту б). Проведем радиусы окружностей в точку К. Очевидно, что, раз оба радиуса проведены через одну и ту же точку, и оба перпендикулярны прямой a, то лежат они на одной и той же прямой – MN.

Продолжение решения

Длина отрезка MN тогда равна 5, а фигура ABNM представляет собой трапецию. У данной  прямоугольной трапеции основания – радиусы окружностей, то есть 1 и 4, а боковая сторона равна их сумме – 5. Найти высоту данной трапеции можно по теореме Пифагора: отрезок SN равен 3 (так как MS перпендикулярен BN, и, значит, параллелен AB, и отсечет от BN отрезок BS, равный 1).

h=sqrt{MN^2-SN^2}=sqrt{5^2-3^2}=4.

Если бы теперь нам удалось найти высоту треугольника ABK – то ключик был бы у нас в кармане! Поэтому проведем перпендикуляр к АВ через точку К – это и будет искомая высота.

Продолжение решения

Она, как видно из рисунка, складывается из двух отрезков: LZ и ZK. Длина  LZ=AM=BS=1.

ZK найдем из подобия двух треугольников: MZK и MSN. Составим отношение подобия для них:

MZ/MS=MK/MN.

MZ/4=1/5, или MZ=4/5

По теореме Пифагора для треугольника MZK:

ZK=sqrt{MK^2-MZ^2}=sqrt{1^2-(4/5)^2}=3/5

Тогда LK=LZ+ZK=1+3/5=1,6

Площадь треугольника ABK:

S_{ABK}={AB*LK}/2={4*1,6}/2=3,2

Ответ: б) 3,2

 

 

Задача 4. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AE и CD, H – точка пересечения высот.

А) Докажите, что точки A, D, E и С лежат на одной окружности.

Б) Известно, что радиус этой окружности равен 2, а радиус описанной окружности треугольника АВС равен 4. Найдите угол АНС.


 

Треугольник и его высоты

a) Так как треугольник ADC – прямоугольный, значит, центр его описанной окружности находится на середине отрезка АС, который является его гипотенузой, и радиус этой окружности равен AC/2. У треугольника AEC АС – также гипотенуза, и, так как он также прямоугольный, то и радиус описанной около него окружности также равен AC/2 и расположен на середине АС. То есть это одна и та же окружность, изобразим ее:

Окружность, проходящая через вершины и основания высот

Таким образом, точки A, D, E и С лежат на одной окружности, ч.т.д.

б) Поскольку О – центр AC, то AO=OC=2.

Запишем площадь треугольника АВС с одной стороны, как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними, с другой стороны, через радиус описанной окружности, который обозначим буквой R:

S_{ABC}={b*c*sin{alpha}}/2={AB*BC* sin{alpha}}/2

S_{ABC}={a*b*c}/{4R}={AC*AB*BC}/{4R}}={AB*BC}/4

Приравняв оба выражения, получим

{AB*BC* sin{alpha}}/2={AB*BC}/4, или {sin{alpha}}/2=1/4, sin{alpha}=1/2, alpha=30{circ}

В четырехугольнике DBEH два угла прямые по условию, третий мы нашли – alpha=30{circ}, четвертый, искомый, найдем, зная, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360{circ}, он будет равен 150{circ}

Ответ: б) 150{circ}

 

 

Задача 5. В треугольнике АВС с углом В, равным 120 {circ}, проведены биссектрисы AA_1, BB_1, CC_1.

А) Докажите, что треугольник A_1B_1C_1 – прямоугольный.

Б) Найдите угол B_1C_1C/


 

Эта задачка оказалась не из простых. Нарисуем сначала то, что известно:

Треугольник с биссектрисами

а) Дополнительные построения на этом рисунке сразу не видны, догадаться, что нужно достроить, совсем не просто. Обратим внимание на то, что внешний угол  CBH при вершине этого треугольника также равен 60{circ}, как и углы ABB_1 и B_1BC.

Ход решения

 

То есть сторона треугольника ВС – биссектриса угла B_1BH, а точка пересечения биссектрис AA_1 и BC – центр вневписанной окружности треугольника ABB_1:

Вневписанная окружность

Тогда A_1B_1 – биссектриса угла BB_1C.

Угол ABT, вертикальный с углом CBH, тоже равен 60{circ}, следовательно, АВ – биссектриса угла TBB_1. Точка пересечения биссектрис углов TBB_1 и BCA C_1 – центр вневписанной окружности для треугольника B_1BC:

Вневписанная окружность

Следовательно, B_1C_1 – биссектриса угла AB_1B.

Углы AB_1B и BB_1C – смежные, значит, их биссектрисы перпендикулярны и треугольник A_1B_1C_1 – прямоугольный.

б) Теперь рассмотрим треугольник BB_1C. Так как угол B_1BC равен 60{circ}, то очевидно, что сумма двух других его углов равна 120{circ}. Так как биссектрисы A_1B_1 и CC_1 делят углы BB_1C и BC B_1 пополам, то сумма углов LB_1C и LC B_1 равна 60{circ}, а угол B_1 LC в одноименном треугольнике тогда равен 120{circ}. Данный угол является смежным углу C_1LB_1, который равен 60{circ}, и в прямоугольном треугольнике B_1 LC на угол B_1C_1L остается 30{circ}. Задача решена.

Ответ: б) 30{circ}

Ответ

Комментариев - 2

  • Аноним
    |

    Добрый день, я пишу с временного эмайла.
    Но дело не в этом, спасибо за сайт, классный сайт, но в задаче 2,в части б, я нашел ошибку, мы не нашли вторую диогональ, а нашли только среднюю линию, для того чтобы найти диагональ нужно среднюю линиюю умнжить 2, из за этого ошибка в ответе

    Ответить
    • Анна
      |

      Да, спасибо, поправила. И спасибо за отзыв.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *