Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 17

Задача 17 профильного ЕГЭ



Задача 1. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 300 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 1 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг никеля приходится 2 кг алюминия. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно может произвести завод?

Так как для сплава алюминия нам нужно больше вдвое, чем никеля, а на второй шахте каждый рабочий может произвести его больше, чем рабочий на первой, то разумно направить рабочих со второй шахты именно на добычу алюминия. Тогда на второй шахте его может быть всего добыто кг.  На первой шахте может быть добыто кг никеля. Тогда на такое количество никеля нужно 3000 кг алюминия, и алюминий окажется в избытке. Поэтому понятно, что для оптимизации количества производимого сплава необходимо разделить рабочих второй шахты так, чтобы часть из них добывала необходимые нам 3000 кг алюминия (на 1500 кг добытого никеля), а оставшихся  рабочих второй шахты разделить, чтобы добываемые ими  количества алюминия и никеля относились как 2:1.  На добычу 3000 кг алюминия на второй шахте нам понадобится 200 рабочих: . Остается 100 человек, или 500 человеко-часов.

Пусть рабочих добывают  алюминий, тогда рабочих будут добывать никель. Первые смогут добыть кг алюминия. Вторые смогут добыть кг никеля. Необходимо, чтобы соблюдалось отношение количеств добываемого металла 2:1. То есть можем записать:

   

   

   

   

Таким образом, 40 человек добывают алюминий и добудут кг металла, а 60 человек будут добывать никель, и произведут кг. То есть в итоге: на первой шахте добудут только никель, всего 1500 кг, на второй шахте добудут 3600 кг алюминия и 300 кг никеля, и никеля получится в сумме 1800 кг, что ровно вдвое меньше, чем алюминия. Всего сплава получится 5400 кг.

Ответ: 5400 кг.

 

Задача 2. В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи кг никеля требуется человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно может произвести завод?

Каждая из областей обладает резервом в 500 человеко-часов.

Во второй области добывают   кг алюминия и кг никеля, и тратят на это 500 часов:

   

У этого уравнения есть единственное решение в целых числах: , , либо же наоборот, , .

Так как никеля необходимо больше, чем алюминия, для производства сплава, то примем как наилучшее первое решение, при этом, кстати, соблюдается требуемое соотношение между количествами алюминия и никеля: никеля вдвое больше. Осталось распределить рабочих первой области так, чтобы добытый ими алюминий и никель также соотносились бы по количеству, как 1:2.

Пусть рабочих добывают алюминий. Тогда его количество будет кг. Остальные рабочих будут добывать никель, и добудут кг.

Составим нужное для производства сплава соотношение алюминия и никеля:

   

   

   

Эти 10 рабочих смогут обеспечить добычу 20 кг алюминия. Тогда остальные 40 рабочих обеспечат добычу никеля в количестве: кг. В итоге в обеих областях можно добыть 60 кг никеля и 30 кг алюминия, всего выйдет 90 кг сплава.

Ответ: 90 кг.

 

Задача 3. 15-го января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Речь здесь пойдет об дифференцированной схеме выплаты кредита, когда само тело кредита выплачивается равными частями, но платежи все разные по той причине, что каждый раз, внося платеж, кроме части тела кредита вы обязаны выплатить и все проценты по нему. Тогда вначале проценты могут даже превышать ту долю кредита, которую вы должны выплатить, но потом в платеже проценты уже не превалируют, а в конце становятся совсем небольшими, потому что начисляются на все меньшую и меньшую часть долга.

Тогда к моменту восьмой выплаты часть кредита, равная , будет уже выплачена, и проценты будут начислены на часть кредита, равную  . То есть восьмая выплата будет состоять из тела кредита и процентов на . Пусть сумма кредита :

   

   

   

Теперь определим общую сумму выплат банку. Это будет само тело кредита и все проценты, сумма которых представляет собой арифметическую прогрессию:

   

Определим сумму этой прогрессии. Первый ее член – , разность – , у нее 15 членов. Тогда:

   

В итоге выплатим сумму, равную

Ответ: 1 620 000 рублей.

Задача 4. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратных метров и номера «люкс» площадью 49 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 руб. в сутки, а номер «люкс» – 4500 руб. в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать на своем отеле предприниматель?

Пусть число обычных номеров , а номеров «люкс» – . Тогда площадь в 1099 метров может быть распределена согласно уравнению:

   

Выразим число обычных номеров (обычно при решении уравнений в целых числах выражают ту величину, у которой коэффициент меньше):

   

   

Выделим целую часть:

   

Теперь найдем решения уравнения, просто подбирая целое число и отыскивая целые .

При

При

При

При

При

При

При

При

Кажется очевидным, что максимальная прибыль будет достигаться при максимальном числе номеров «люкс», поэтому выбираем последнее решение. Тогда в день предприниматель получит:

   

Однако, проверим первый вариант:

   

Можно проверить и второй:

   

– а это меньше, чем дает вариант с пятьюдесятью обычными номерами и одним «люксом», тем более, учитывая экономическую ситуацию в стране, можно предположить больший спрос на простые номера.

Ответ: 104 500.

Задача 5. 15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 177,75 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Здесь также дифференцированная схема выплат. Тогда за 12 месяцев нужно выплатить половину тела кредита и проценты, которые можно записать так:

   

Определим сумму этой прогрессии. Первый ее член – , разность – , у нее 12 членов. Тогда:

   

Значит, все, что будет выплачено за 12 месяцев, это

   

   

Ответ: 300 000.

 

Задача 6. 31 декабря 2014 года Олег взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на ), затем Олег переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 328 050 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 587 250 рублей, то за 2 года. Найдите .

Эта схема выплаты кредита, когда он выплачивается равными платежами, называется аннуитетом. Воспользуемся формулой, вывод которой можно найти здесь.

В случае выплаты в два платежа:

   

В случае четырех платежей:

   

Разделим второе уравнение на первое:

   

Разложим числитель дроби справа как разность квадратов и сократим дробь:

   

   

   

   

   

   

   

   

Ответ: 12,5

 

Задача 7. В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу за 7000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 2000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10 %. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через 15 лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была бы наибольшей?

Пусть Алексей держит бумагу в течение лет. Тогда она прибавит в цене , и ее стоимость будет .

Потом Алексей продаст бумагу, и в течение лет будет получать проценты в банке на вырученную сумму. То есть сумма будет увеличиваться в 1,1 раза раз.

Тогда сумма в банке по истечении 15 лет будет

   

Найдем экстремум функции, для этого возьмем производную и приравняем к нулю. Это производная произведения, к тому же, в составе имеется сложная функция:

   

Сократим сразу же на 1000:

   

Выносим общий множитель за скобки:

   

В этом произведении первый множитель, очевидно, не равен 0, поэтому

   

   

   

   

   

Сразу оговорюсь, что на экзамене, без калькулятора, определить натуральный логарифм будет непросто и вряд ли вообще возможно. Поэтому это решение,  наиболее правильное, не представляется осуществимым на ЕГЭ. Попробуем решить проще. Будет выгодным продать бумагу, если окажется, что процент, начисляемый банком, хотя бы единожды, больше, чем ежегодное подорожание этой бумаги, то есть должно выполняться неравенство:

   

   

   

   

То есть равно по крайней мере 7.

Ответ: выгодно продавать бумагу в 2008 году.

 

Задача 8. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн руб. на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять  кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн руб.?

Так же имеем дифференцированную схему выплаты. Определим, какую сумму нужно будет выплатить сверх тела кредита:

   

Это общая сумма всех процентов, начисляемых банком. Запишем, каким образом банк будет начислять эти проценты, если сумма кредита :

   

Вынесем общий множитель за скобки:

   

В скобках имеем арифметическую прогрессию, первый член ее , разность – , у нее членов. Запишем ее сумму:

   

Тогда сумма всех выплаченных процентов равна:

   

   

   

   

Ответ: 10 лет.



Один комментарий

  • Галина
    |

    Большое спасибо за вашу работу. Вы очень мне помогли

    Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *