Задача 17. Определение суммы кредита.

Выведем общую формулу, которой будем потом пользоваться.

Итак, берем у банка $X$ единиц денег под процент $r$ – в начале года.

Тогда банк начислит нам проценты на наш долг через год, и мы станем должны ему уже больше (скажем, 31 декабря наш долг равен):

$X+X\cdot \frac{r}{100}=X \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)$

Но 1 января мы не сидим за столом, и не мирно спим после праздника, а бежим в банк вносить платеж, и возвращаем банку $A$ единиц денег, и наш долг уменьшается:

$X \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A$

Однако проходит еще год, и банк снова начислит проценты, и долг снова увеличивается:

$\left(X \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A\right) \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)$

И снова мы бежим вносить платеж:

$\left(X \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A\right) \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A$

Но еще через год происходит опять все то же самое:

$\left(\left(X \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A\right) \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A \right) \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A$

И так происходит столько лет, на сколько мы взяли кредит, пока, наконец, наш долг не уменьшается до нуля, предположим, 4 года:

$\left(\left(\left(X \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A\right) \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A \right) \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A\right) \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A =0$

Раскрыв скобки в этом равенстве, получим:

$X\cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)^4-A \cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)^3-A \cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)^2-A \cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)-A=0$

Перенесем все слагаемые, содержащие $A$ , вправо:

$X\cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)^4=A \cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)^3+A \cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)^2+A \cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)+A$

И вынесем $A$ за скобку:

$X\cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)^4=A \left[ {\left(1+\frac{r}{100} \right)^3+\left(1+\frac{r}{100} \right)^2+\left(1+\frac{r}{100} \right)+1} \right]$

Введем замену: $R=1+ \frac {r}{100}$ , тогда

$XR^4=A \left[ {R^3+R^2+R+1} \right]$

Справа в квадратных скобках – сумма геометрической прогрессии с первым членом, равным 1, и знаменателем $R$ , можно эту сумму формулой записать:

$S_4=\frac{R^4-1}{R-1}$

Итак, имеем готовую формулу для использования!

$XR^4=A \frac{R^4-1}{R-1}$

Это для четырех лет пользования кредитом. Если срок будет больше или меньше, как изменится формула? Поменяются степени!

$XR^n=A \frac{R^n-1}{R-1}$

$R=1+ \frac {r}{100}$

В этих формулах $r$ – процент, начисляемый банком за пользование его деньгами, $n$ – срок кредита (лет или месяцев), $A$ – платеж (ежегодный или ежемесячный, но всегда один и тот же – равные платежи), $X$ – сумма, которую мы одалживаем у банка.

Задача 1. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн рублей.
Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

Используем формулу:

$X \cdot R^n=A \cdot {\frac{R^n-1}{R-1}}$

Здесь $X$ – сумма кредита, $A$ – платеж, при условии, что платят равными частями, $R=1+ \frac {r}{100}$ , $r$ – банковский процент, $n$ – количество лет, на которые взят кредит.

Подставим в эту формулу цифры, которые нам известны:

$R=1+ \frac {r}{100}=1+ \frac{20}{100}=1,2$

$X \cdot {1,2}^3=A \cdot {\frac{1,2^3-1}{1,2-1}}$

$X \cdot {1,2}^3=2,16 \cdot {\frac{1,2^3-1}{0,2}}$

Тогда кредит можно посчитать так:

$X =2,16 \cdot {\frac{1,2^3-1}{0,2\cdot {1,2}^3}}$

Главное здесь – не ошибиться при счете, а значит, надо максимально упростить себе подсчеты.

Переносим запятую вправо в числителе и знаменателе:

$X =21,6 \cdot {\frac{1,2^3-1}{2\cdot {1,2}^3}}$

Делим на 2 число $21,6$ :

$X =10,8 \cdot {\frac{1,2^3-1}{{1,2}^3}}$

Снова переносим запятую в числителе, а знаменатель представляем как произведение $1,2 \cdot 1,44$ и тоже переносим запятую:

$X =108 \cdot {\frac{1,2^3-1}{12 \cdot{1,2}^2}}$

Делим 108 на 9:

$X =9 \cdot {\frac{1,2^3-1}{{1,2}^2}}$

Делим числитель почленно:

$X =9 \cdot 1,2-\frac{9}{{1,44}}$

$X =10,8-6,25=4,55$

Ответ: 4,55 млн

Задача 2. 31 декабря 2014 года Ярослав взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Ярослав переводит в банк 2 132 325 рублей. Какую сумму взял Ярослав в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Используем формулу:

$X \cdot R^n=A \cdot {\frac{R^n-1}{R-1}}$

Подставим в эту формулу цифры, которые нам известны:

$R=1+ \frac {r}{100}=1+ \frac{12,5}{100}=1,125$