Задача 17. Определение суммы кредита.

[latexpage]

Выведем общую формулу, которой будем потом пользоваться.

Итак, берем у банка $X$ единиц денег под процент $r$ – в начале года.

Тогда банк начислит нам проценты на наш долг через год, и мы станем должны ему уже больше (скажем, 31 декабря наш долг равен):

$$X+X\cdot \frac{r}{100}=X \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)$$

Но 1 января мы не сидим за столом, и не мирно спим после праздника, а бежим в банк вносить платеж, и возвращаем банку $A$ единиц денег, и наш долг уменьшается:

$$X \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A$$

Однако проходит еще год, и банк снова начислит проценты, и долг снова увеличивается:

$$\left(X \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A\right) \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)$$

И снова мы бежим вносить платеж:

$$\left(X \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A\right) \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A$$

Но  еще через год происходит опять все то же самое:

$$\left(\left(X \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A\right) \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A \right) \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A$$

И так происходит столько лет, на сколько мы взяли кредит, пока, наконец, наш долг не уменьшается до нуля, предположим, 4 года:

$$\left(\left(\left(X \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A\right) \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A \right) \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A\right) \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A =0$$

Раскрыв скобки в этом равенстве, получим:

$$X\cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)^4-A \cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)^3-A \cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)^2-A \cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)-A=0$$

Перенесем все слагаемые, содержащие $A$, вправо:

$$X\cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)^4=A \cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)^3+A \cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)^2+A \cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)+A$$

И вынесем $A$ за скобку:

$$X\cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)^4=A \left[ {\left(1+\frac{r}{100} \right)^3+\left(1+\frac{r}{100} \right)^2+\left(1+\frac{r}{100} \right)+1} \right]$$

Введем замену: $R=1+ \frac {r}{100}$, тогда

$$XR^4=A \left[ {R^3+R^2+R+1} \right]$$

Справа в квадратных скобках – сумма геометрической прогрессии с первым членом, равным 1, и знаменателем $R$, можно эту сумму формулой записать:

$$S_4=\frac{R^4-1}{R-1}$$

Итак, имеем готовую формулу для использования!

$$XR^4=A \frac{R^4-1}{R-1}$$

Это для четырех лет пользования кредитом. Если срок будет больше или меньше, как изменится формула? Поменяются степени!

$$XR^n=A \frac{R^n-1}{R-1}$$

$$R=1+ \frac {r}{100}$$

В этих формулах $r$ – процент, начисляемый банком за пользование его деньгами, $n$ – срок кредита (лет или месяцев), $A$ – платеж (ежегодный или ежемесячный, но всегда один и тот же – равные платежи), $X$ – сумма, которую мы одалживаем у банка.

Задача 1. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн рублей.
Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

Используем формулу:

$$X \cdot  R^n=A \cdot {\frac{R^n-1}{R-1}}$$
Здесь $X$ – сумма кредита, $A$ – платеж, при условии, что платят равными частями, $R=1+ \frac {r}{100}$, $r$ – банковский процент, $n$ – количество лет, на которые взят кредит.

Подставим в эту формулу цифры, которые нам известны:

$$ R=1+ \frac {r}{100}=1+ \frac{20}{100}=1,2$$

$$X \cdot {1,2}^3=A \cdot {\frac{1,2^3-1}{1,2-1}}$$
$$X \cdot {1,2}^3=2,16 \cdot {\frac{1,2^3-1}{0,2}}$$

Тогда кредит можно посчитать так:

$$X =2,16 \cdot {\frac{1,2^3-1}{0,2\cdot {1,2}^3}}$$

Главное здесь – не ошибиться при счете, а значит, надо максимально упростить себе подсчеты.

Переносим запятую вправо в числителе и знаменателе:

$$X =21,6 \cdot {\frac{1,2^3-1}{2\cdot {1,2}^3}}$$

Делим на 2 число $21,6$:

$$X =10,8 \cdot {\frac{1,2^3-1}{{1,2}^3}}$$

Снова переносим запятую в числителе, а знаменатель представляем как произведение $1,2 \cdot 1,44$ и тоже переносим запятую:

$$X =108 \cdot {\frac{1,2^3-1}{12 \cdot{1,2}^2}}$$

Делим 108 на 9:

$$X =9 \cdot {\frac{1,2^3-1}{{1,2}^2}}$$

Делим числитель почленно:

$$X =9 \cdot 1,2-\frac{9}{{1,44}}$$

$$X =10,8-6,25=4,55$$

Ответ: 4,55 млн

 

Задача 2. 31 де­каб­ря 2014 года Яро­слав взял в банке не­ко­то­рую сумму в кре­дит под 12,5% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга ( то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 12,5%), затем Яро­слав пе­ре­во­дит в банк 2 132 325 руб­лей. Какую сумму взял Яро­слав в банке, если он вы­пла­тил долг че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за че­ты­ре года)?

Используем формулу:

$$X \cdot  R^n=A \cdot {\frac{R^n-1}{R-1}}$$
Здесь $X$ – сумма кредита, $A$ – платеж, при условии, что платят равными частями, $R=1+ \frac {r}{100}$, $r$ – банковский процент, $n$ – количество лет, на которые взят кредит.

Подставим в эту формулу цифры, которые нам известны:

$$ R=1+ \frac {r}{100}=1+ \frac{12,5}{100}=1,125$$

$$X \cdot {1,125}^4=A \cdot {\frac{{1,125}^4-1}{1,125-1}}$$

Деление на $0,125=\frac{1}{8}$ заменяем умножением на 8:
$$X \cdot {1,125}^4=2 132 325 \cdot {\frac{{1,125}^4-1}{0,125}}$$

$$X \cdot {1,125}^4=2 132 325\cdot 8 \cdot ({1,125}^4-1)$$

Представляем дробью число $1,125=\frac{9}{8}$

$$X \cdot \left(\frac{9}{8}\right)^4=17 058 600 \cdot ({1,125}^4-1)$$

Дробь возводим в 4 степень и делим на нее, а раз делим на дробь, можем снова заменить умножением на перевернутую:

$$X = 17 058 600 \cdot \frac{8^4({1,125}^4-1)}{9^4}$$

Складываем цифры числа 17 058 600 и выясняем, что оно делится на 9. Делим:

$$X = 1895400 \cdot \frac{8^4({1,125}^4-1)}{9^3}$$

Складываем цифры числа 1895400 и выясняем, что оно делится на 9. Делим:

$$X = 210600 \cdot \frac{8^4({1,125}^4-1)}{9^2}$$

Складываем цифры числа 210600 и  выясняем, что оно делится на 9. Делим:

$$X = 23400 \cdot \frac{8^4({1,125}^4-1)}{9}$$

Складываем цифры числа 23400 и выясняем, что оно делится на 9. Делим:

$$X = 2600 \cdot 8^4({1,125}^4-1)$$

Снова представляем дробью число ${1,125}^4=\frac{9^4}{8^4}$

$$X = 2600 \cdot (9^4-8^4)$$

Ни в коем случае не будем считать четвертые степени восьмерки и девятки, а разложим разность квадратов:

$$X = 2600 \cdot (9^2-8^2)(9^2+8^2)$$

$$X = 2600 \cdot (17)(145)$$

Ну а теперь не ошибиться при умножении в столбик – и вуаля:

Ответ:  6409000