Задача 17. Определение суммы кредита.

Выведем общую формулу, которой будем потом пользоваться.

Итак, берем у банка единиц денег под процент – в начале года.

Тогда банк начислит нам проценты на наш долг через год, и мы станем должны ему уже больше (скажем, 31 декабря наш долг равен):

Но 1 января мы не сидим за столом, и не мирно спим после праздника, а бежим в банк вносить платеж, и возвращаем банку единиц денег, и наш долг уменьшается:

Однако проходит еще год, и банк снова начислит проценты, и долг снова увеличивается:

И снова мы бежим вносить платеж:

Но  еще через год происходит опять все то же самое:

И так происходит столько лет, на сколько мы взяли кредит, пока, наконец, наш долг не уменьшается до нуля, предположим, 4 года:

Раскрыв скобки в этом равенстве, получим:

Перенесем все слагаемые, содержащие , вправо:

И вынесем за скобку:

Введем замену: , тогда

Справа в квадратных скобках – сумма геометрической прогрессии с первым членом, равным 1, и знаменателем , можно эту сумму формулой записать:

Итак, имеем готовую формулу для использования!

Это для четырех лет пользования кредитом. Если срок будет больше или меньше, как изменится формула? Поменяются степени!

В этих формулах – процент, начисляемый банком за пользование его деньгами, – срок кредита (лет или месяцев), – платеж (ежегодный или ежемесячный, но всегда один и тот же – равные платежи), – сумма, которую мы одалживаем у банка.

Задача 1. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн рублей.
Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

Используем формулу:

Здесь – сумма кредита, – платеж, при условии, что платят равными частями, , – банковский процент, – количество лет, на которые взят кредит.

Подставим в эту формулу цифры, которые нам известны:

Тогда кредит можно посчитать так:

Главное здесь – не ошибиться при счете, а значит, надо максимально упростить себе подсчеты.

Переносим запятую вправо в числителе и знаменателе:

Делим на 2 число :

Снова переносим запятую в числителе, а знаменатель представляем как произведение и тоже переносим запятую:

Делим 108 на 9:

Делим числитель почленно:

Ответ: 4,55 млн

 

Задача 2. 31 де­каб­ря 2014 года Яро­слав взял в банке не­ко­то­рую сумму в кре­дит под 12,5% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга ( то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 12,5%), затем Яро­слав пе­ре­во­дит в банк 2 132 325 руб­лей. Какую сумму взял Яро­слав в банке, если он вы­пла­тил долг че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за че­ты­ре года)?

Используем формулу:

Здесь – сумма кредита, – платеж, при условии, что платят равными частями, , – банковский процент, – количество лет, на которые взят кредит.

Подставим в эту формулу цифры, которые нам известны:

Деление на заменяем умножением на 8:

Представляем дробью число

Дробь возводим в 4 степень и делим на нее, а раз делим на дробь, можем снова заменить умножением на перевернутую:

Складываем цифры числа 17 058 600 и выясняем, что оно делится на 9. Делим:

Складываем цифры числа 1895400 и выясняем, что оно делится на 9. Делим:

Складываем цифры числа 210600 и  выясняем, что оно делится на 9. Делим:

Складываем цифры числа 23400 и выясняем, что оно делится на 9. Делим:

Снова представляем дробью число

Ни в коем случае не будем считать четвертые степени восьмерки и девятки, а разложим разность квадратов:

Ну а теперь не ошибиться при умножении в столбик – и вуаля:

Ответ:  6409000