[latexpage]
Выведем общую формулу, которой будем потом пользоваться.
Итак, берем у банка $X$ единиц денег под процент $r$ – в начале года.
Тогда банк начислит нам проценты на наш долг через год, и мы станем должны ему уже больше (скажем, 31 декабря наш долг равен):
$$X+X\cdot \frac{r}{100}=X \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)$$
Но 1 января мы не сидим за столом, и не мирно спим после праздника, а бежим в банк вносить платеж, и возвращаем банку $A$ единиц денег, и наш долг уменьшается:
$$X \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A$$
Однако проходит еще год, и банк снова начислит проценты, и долг снова увеличивается:
$$\left(X \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A\right) \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)$$
И снова мы бежим вносить платеж:
$$\left(X \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A\right) \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A$$
Но еще через год происходит опять все то же самое:
$$\left(\left(X \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A\right) \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A \right) \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A$$
И так происходит столько лет, на сколько мы взяли кредит, пока, наконец, наш долг не уменьшается до нуля, предположим, 4 года:
$$\left(\left(\left(X \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A\right) \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A \right) \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A\right) \cdot \left(1+\frac{r}{100} \right)-A =0$$
Раскрыв скобки в этом равенстве, получим:
$$X\cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)^4-A \cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)^3-A \cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)^2-A \cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)-A=0$$
Перенесем все слагаемые, содержащие $A$, вправо:
$$X\cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)^4=A \cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)^3+A \cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)^2+A \cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)+A$$
И вынесем $A$ за скобку:
$$X\cdot\left(1+\frac{r}{100} \right)^4=A \left[ {\left(1+\frac{r}{100} \right)^3+\left(1+\frac{r}{100} \right)^2+\left(1+\frac{r}{100} \right)+1} \right]$$
Введем замену: $R=1+ \frac {r}{100}$, тогда
$$XR^4=A \left[ {R^3+R^2+R+1} \right]$$
Справа в квадратных скобках – сумма геометрической прогрессии с первым членом, равным 1, и знаменателем $R$, можно эту сумму формулой записать:
$$S_4=\frac{R^4-1}{R-1}$$
Итак, имеем готовую формулу для использования!
$$XR^4=A \frac{R^4-1}{R-1}$$
Это для четырех лет пользования кредитом. Если срок будет больше или меньше, как изменится формула? Поменяются степени!
$$XR^n=A \frac{R^n-1}{R-1}$$
$$R=1+ \frac {r}{100}$$
В этих формулах $r$ – процент, начисляемый банком за пользование его деньгами, $n$ – срок кредита (лет или месяцев), $A$ – платеж (ежегодный или ежемесячный, но всегда один и тот же – равные платежи), $X$ – сумма, которую мы одалживаем у банка.
Задача 1. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн рублей.
Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года)?
Используем формулу:
$$X \cdot R^n=A \cdot {\frac{R^n-1}{R-1}}$$
Здесь $X$ – сумма кредита, $A$ – платеж, при условии, что платят равными частями, $R=1+ \frac {r}{100}$, $r$ – банковский процент, $n$ – количество лет, на которые взят кредит.
Подставим в эту формулу цифры, которые нам известны:
$$ R=1+ \frac {r}{100}=1+ \frac{20}{100}=1,2$$
$$X \cdot {1,2}^3=A \cdot {\frac{1,2^3-1}{1,2-1}}$$
$$X \cdot {1,2}^3=2,16 \cdot {\frac{1,2^3-1}{0,2}}$$
Тогда кредит можно посчитать так:
$$X =2,16 \cdot {\frac{1,2^3-1}{0,2\cdot {1,2}^3}}$$
Главное здесь – не ошибиться при счете, а значит, надо максимально упростить себе подсчеты.
Переносим запятую вправо в числителе и знаменателе:
$$X =21,6 \cdot {\frac{1,2^3-1}{2\cdot {1,2}^3}}$$
Делим на 2 число $21,6$:
$$X =10,8 \cdot {\frac{1,2^3-1}{{1,2}^3}}$$
Снова переносим запятую в числителе, а знаменатель представляем как произведение $1,2 \cdot 1,44$ и тоже переносим запятую:
$$X =108 \cdot {\frac{1,2^3-1}{12 \cdot{1,2}^2}}$$
Делим 108 на 9:
$$X =9 \cdot {\frac{1,2^3-1}{{1,2}^2}}$$
Делим числитель почленно:
$$X =9 \cdot 1,2-\frac{9}{{1,44}}$$
$$X =10,8-6,25=4,55$$
Ответ: 4,55 млн
Задача 2. 31 декабря 2014 года Ярослав взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Ярослав переводит в банк 2 132 325 рублей. Какую сумму взял Ярослав в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Используем формулу:
$$X \cdot R^n=A \cdot {\frac{R^n-1}{R-1}}$$
Здесь $X$ – сумма кредита, $A$ – платеж, при условии, что платят равными частями, $R=1+ \frac {r}{100}$, $r$ – банковский процент, $n$ – количество лет, на которые взят кредит.
Подставим в эту формулу цифры, которые нам известны:
$$ R=1+ \frac {r}{100}=1+ \frac{12,5}{100}=1,125$$
$$X \cdot {1,125}^4=A \cdot {\frac{{1,125}^4-1}{1,125-1}}$$
Деление на $0,125=\frac{1}{8}$ заменяем умножением на 8:
$$X \cdot {1,125}^4=2 132 325 \cdot {\frac{{1,125}^4-1}{0,125}}$$
$$X \cdot {1,125}^4=2 132 325\cdot 8 \cdot ({1,125}^4-1)$$
Представляем дробью число $1,125=\frac{9}{8}$
$$X \cdot \left(\frac{9}{8}\right)^4=17 058 600 \cdot ({1,125}^4-1)$$
Дробь возводим в 4 степень и делим на нее, а раз делим на дробь, можем снова заменить умножением на перевернутую:
$$X = 17 058 600 \cdot \frac{8^4({1,125}^4-1)}{9^4}$$
Складываем цифры числа 17 058 600 и выясняем, что оно делится на 9. Делим:
$$X = 1895400 \cdot \frac{8^4({1,125}^4-1)}{9^3}$$
Складываем цифры числа 1895400 и выясняем, что оно делится на 9. Делим:
$$X = 210600 \cdot \frac{8^4({1,125}^4-1)}{9^2}$$
Складываем цифры числа 210600 и выясняем, что оно делится на 9. Делим:
$$X = 23400 \cdot \frac{8^4({1,125}^4-1)}{9}$$
Складываем цифры числа 23400 и выясняем, что оно делится на 9. Делим:
$$X = 2600 \cdot 8^4({1,125}^4-1)$$
Снова представляем дробью число ${1,125}^4=\frac{9^4}{8^4}$
$$X = 2600 \cdot (9^4-8^4)$$
Ни в коем случае не будем считать четвертые степени восьмерки и девятки, а разложим разность квадратов:
$$X = 2600 \cdot (9^2-8^2)(9^2+8^2)$$
$$X = 2600 \cdot (17)(145)$$
Ну а теперь не ошибиться при умножении в столбик – и вуаля:
Ответ: 6409000
Пример 2. При х=2.5,...
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...