Задача 17. Определение суммы ежегодного платежа.

Вывод формулы, используемой в этой статье для решения задач, смотри здесь.

В этих формулах – процент, начисляемый банком за пользование его деньгами, – срок кредита (лет или месяцев), – платеж (ежегодный или ежемесячный, но всегда один и тот же – равные платежи), – сумма, которую мы одалживаем у банка.

Задача 1. В июле планируется взять кредит на сумму 8052000 рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?

Итак, по условию задачи , , .

Искать будем сумму ежегодного платежа.

Тогда

Выражаем сумму платежа :

Рассчитываем

Сдвигаем запятые в числителе и знаменателе для удобства:

Сокращаем дробь. Числа 20736 и 10736 оканчиваются на 36 – число, делящееся на 4, сократим на 4:

Снова есть два числа, оканчивающиеся на 84 – а это число делится на 4, значит, снова делим на 4:

Замечаем, что число 671 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 4, ни на 5. Зато сумма цифр на четных местах в нем равна сумме цифр на нечетных – а это признак делимости на 11( 6+1=7). И у числа 1610400 видим то же самое: 1+1+4+0=6+0, значит, оно тоже делится на 11. Сокращаем дробь на 11:

Вот теперь совсем трудно, так как 61 – простое число. Остается только попробовать разделить 146400 на 61 в столбик. И действительно, делится нацело!

Дело за малым: не ошибиться при умножении последних двух чисел!

Ответ: 3 110 400

Задача 2.  В июле планируется взять кредит на сумму 4026000 рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом прошлого года.
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года) по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?

Нам предстоит решить эту задачу дважды: сначала найти сумму ежегодного платежа, если мы расплачиваемся за 4 года, умножить ее затем на 4 и получить полную сумму, выплачиваемую банку в этом случае. Затем найдем сумму ежегодного платежа в случае, если сможем расплатиться за 2 года, умножим на 2 и снова найдем полную сумму, только для срока в 2 года. Ну а там вычтем из большей (4 года) меньшую (2 года) и запишем результат в ответ.

Итак, по условию задачи , , .

Искать будем сумму ежегодного платежа.

Тогда

Выражаем сумму платежа :

Рассчитываем

Сдвигаем запятые в числителе и знаменателе для удобства:

Сокращаем дробь. Числа 20736 и 10736 оканчиваются на 36 – число, делящееся на 4, сократим на 4:

Снова есть два числа, оканчивающиеся на 84 – а это число делится на 4, значит, снова делим на 4:

Замечаем, что число 671 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 4, ни на 5. Зато сумма цифр на четных местах в нем равна сумме цифр на нечетных – а это признак делимости на 11( 6+1=7). И у числа 805200 видим тот же признак: разность суммы цифр  на нечетных и суммы цифр на четных местах делится на 11 ( – другая форма записи признака делимости на 11), значит, число 805200 делится на 11. Сокращаем дробь на 11:

Опять 61 – простое число. Пробуем разделить 73200 на 61 в столбик. И действительно, делится нацело!

Умножаем эти два числа аккуратно в столбик.
Получим сумму платежа, равную 1 555 200. Такую сумму банк от нас ждет ежегодно в течение 4 лет. То есть всего мы выплатили бы в таком случае

Теперь все начинаем сначала, но срок уже два года. здесь расчеты будут попроще.

Тогда

Выражаем сумму платежа :

Сдвигаем запятые в числителе и знаменателе для удобства:

Сокращаем дробь, сначала на 4:

Затем на 11:

Окончательная сумма после умножения 2 635 200. То есть всего мы выплатили бы в таком случае

Производим сравнение полных сумм при сроке кредита 4 года и два года:

Ответ: 950 400 – на столько больше мы заплатили бы банку, если бы пользовались кредитом 4 года вместо двух.

Задача 3. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на 5 лет. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Сколько млн рублей составила общая сумма выплат после погашения кредита?

Вновь воспользуемся уже известной формулой.

По условию задачи , , .

Искать будем сумму ежегодного платежа, а потом умножим ее на 5 платежей, и получим общую сумму выплат.

Тогда

Выражаем сумму платежа :

Рассчитываем

Сдвигаем запятые в числителе и знаменателе для удобства:

Если этот платеж умножить на 5 лет выплат, то получим:

Делить придется в столбик, после деления получим результат: 13, 18987404

При округлении до миллионов получим 13 – это и есть ответ на эту задачу.

Ответ: 13