Задача 17. Определение суммы ежегодного платежа.

[latexpage]

Вывод формулы, используемой в этой статье для решения задач, смотри здесь.

$$XR^n=A \frac{R^n-1}{R-1}$$

$$R=1+ \frac {r}{100}$$

В этих формулах $r$ – процент, начисляемый банком за пользование его деньгами, $n$ – срок кредита (лет или месяцев), $A$ – платеж (ежегодный или ежемесячный, но всегда один и тот же – равные платежи), $X$ – сумма, которую мы одалживаем у банка.

Задача 1. В июле планируется взять кредит на сумму 8052000 рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?

Итак, по условию задачи $r=20$, $n=4$, $X=8052000$.

Искать будем сумму ежегодного платежа.

$$R=1+ \frac {r}{100}=1+\frac {20}{100}=1,2$$

Тогда

$$8052000 \cdot 1,2^4=A \frac{1,2^4-1}{1,2-1}$$

$$8052000 \cdot 1,2^4=A \frac{1,2^4-1}{0,2}$$

Выражаем сумму платежа $A$:

$$A=\frac{8052000 \cdot 1,2^4 \cdot 0,2}{1,2^4-1}$$

$$A=\frac{1610400 \cdot 1,2^4}{1,2^4-1}$$

Рассчитываем ${1,2}^4={1,44}^2=2,0736$

$$A=\frac{1610400 \cdot 2,0736}{1,0736}$$

Сдвигаем запятые в числителе и знаменателе для удобства:

$$A=\frac{1610400 \cdot 20736}{10736}$$

Сокращаем дробь. Числа 20736 и 10736 оканчиваются на 36 – число, делящееся на 4, сократим на 4:

$$A=\frac{1610400 \cdot 5184}{2684}$$

Снова есть два числа, оканчивающиеся на 84 – а это число делится на 4, значит, снова делим на 4:

$$A=\frac{1610400 \cdot 1296}{671}$$

Замечаем, что число 671 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 4, ни на 5. Зато сумма цифр на четных местах в нем равна сумме цифр на нечетных – а это признак делимости на 11( 6+1=7). И у числа 1610400 видим то же самое: 1+1+4+0=6+0, значит, оно тоже делится на 11. Сокращаем дробь на 11:

$$A=\frac{146400 \cdot 1296}{61}$$

Вот теперь совсем трудно, так как 61 – простое число. Остается только попробовать разделить 146400 на 61 в столбик. И действительно, делится нацело!

$$A=2400 \cdot 1296$$

Дело за малым: не ошибиться при умножении последних двух чисел!

Ответ: 3 110 400

Задача 2.  В июле планируется взять кредит на сумму 4026000 рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом прошлого года.
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года) по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?

Нам предстоит решить эту задачу дважды: сначала найти сумму ежегодного платежа, если мы расплачиваемся за 4 года, умножить ее затем на 4 и получить полную сумму, выплачиваемую банку в этом случае. Затем найдем сумму ежегодного платежа в случае, если сможем расплатиться за 2 года, умножим на 2 и снова найдем полную сумму, только для срока в 2 года. Ну а там вычтем из большей (4 года) меньшую (2 года) и запишем результат в ответ.

Итак, по условию задачи $r=20$, $n=4$, $X=4026000$.

Искать будем сумму ежегодного платежа.

$$R=1+ \frac {r}{100}=1+\frac {20}{100}=1,2$$

Тогда

$$4026000 \cdot 1,2^4=A \frac{1,2^4-1}{1,2-1}$$

$$4026000 \cdot 1,2^4=A \frac{1,2^4-1}{0,2}$$

Выражаем сумму платежа $A$:

$$A=\frac{4026000 \cdot 1,2^4 \cdot 0,2}{1,2^4-1}$$

$$A=\frac{805200 \cdot 1,2^4}{1,2^4-1}$$

Рассчитываем $1,2^4=1,44^2=2,0736$

$$A=\frac{805200 \cdot 2,0736}{1,0736}$$

Сдвигаем запятые в числителе и знаменателе для удобства:

$$A=\frac{805200 \cdot 20736}{10736}$$

Сокращаем дробь. Числа 20736 и 10736 оканчиваются на 36 – число, делящееся на 4, сократим на 4:

$$A=\frac{805200 \cdot 5184}{2684}$$

Снова есть два числа, оканчивающиеся на 84 – а это число делится на 4, значит, снова делим на 4:

$$A=\frac{805200 \cdot 1296}{671}$$

Замечаем, что число 671 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 4, ни на 5. Зато сумма цифр на четных местах в нем равна сумме цифр на нечетных – а это признак делимости на 11( 6+1=7). И у числа 805200 видим тот же признак: разность суммы цифр  на нечетных и суммы цифр на четных местах делится на 11 ($(8+5+0)-(2+0+0)=11$ – другая форма записи признака делимости на 11), значит, число 805200 делится на 11. Сокращаем дробь на 11:

$$A=\frac{73200 \cdot 1296}{61}$$

Опять 61 – простое число. Пробуем разделить 73200 на 61 в столбик. И действительно, делится нацело!

$$A=1200 \cdot 1296$$

Умножаем эти два числа аккуратно в столбик.
Получим сумму платежа, равную 1 555 200. Такую сумму банк от нас ждет ежегодно в течение 4 лет. То есть всего мы выплатили бы в таком случае $4 \cdot 1 555 200=6 220 800$

Теперь все начинаем сначала, но срок уже два года. здесь расчеты будут попроще.

Тогда

$$4026000 \cdot 1,2^2=A \frac{1,2^2-1}{1,2-1}$$

$$4026000 \cdot 1,2^2=A \frac{1,2^2-1}{0,2}$$

Выражаем сумму платежа $A$:

$$A=\frac{4026000 \cdot 1,2^2 \cdot 0,2}{1,44-1}$$

$$A=\frac{805200 \cdot 1,44}{0,44}$$

Сдвигаем запятые в числителе и знаменателе для удобства:

$$A=\frac{805200 \cdot 144}{44}$$

Сокращаем дробь, сначала на 4:

$$A=\frac{805200 \cdot 36}{11}$$

Затем на 11:

$$A=73200 \cdot 36$$

Окончательная сумма после умножения 2 635 200. То есть всего мы выплатили бы в таком случае $2 \cdot 2 635 200=5 270 400$

Производим сравнение полных сумм при сроке кредита 4 года и два года:

$$6 220 800-5 270 400=950 400$$

Ответ: 950 400 – на столько больше мы заплатили бы банку, если бы пользовались кредитом 4 года вместо двух.

Задача 3. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на 5 лет. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Сколько млн рублей составила общая сумма выплат после погашения кредита?

Вновь воспользуемся уже известной формулой.

По условию задачи $r=10$, $n=5$, $X=10 000 000$.

Искать будем сумму ежегодного платежа, а потом умножим ее на 5 платежей, и получим общую сумму выплат.

$$R=1+ \frac {r}{100}=1+\frac {10}{100}=1,1$$

Тогда

$$10 \cdot 1,1^5=A \frac{1,1^5-1}{1,1-1}$$

$$10 \cdot 1,1^5=A \frac{1,1^5-1}{0,1}$$

Выражаем сумму платежа $A$:

$$A=\frac{10 \cdot 1,1^5 \cdot 0,1}{1,1^5-1}$$

$$A=\frac{1,1^5}{1,1^5-1}$$

Рассчитываем $1,1^5=1,21^2 \cdot 1,1=1,61051$

$$A=\frac{1,61051}{0,61051}$$

Сдвигаем запятые в числителе и знаменателе для удобства:

$$A=\frac{161 051}{61 051}$$

Если этот платеж умножить на 5 лет выплат, то получим:

$$5A=\frac{805 255}{61 051}$$

Делить придется в столбик, после деления получим результат: 13, 18987404

При округлении до миллионов получим 13 – это и есть ответ на эту задачу.

Ответ: 13