Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 10-11 класс, 17

Задача 17 – определение срока кредитования.

Задача 17  – одна из сложных задач ЕГЭ. Они делятся на “экономические” и “неэкономические”. В первых, как правило, нужно уметь определять срок кредитования, сумму кредита, банковский процент или величину платежа.


Задача 1. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на некоторый срок.
Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил 1,8 млн рублей?


 

Снова мы столкнулись с условием, когда долг должен быть меньше долга на предыдущий период времени на одну и ту же величину. Это означает, что платежи не будут равными, потому что в каждый из платежей необходимо выплатить все проценты, начисленные банком до того, и еще часть суммы самого кредита. Поэтому при такой схеме первый платеж является самым крупным (проценты начисляются на целую, еще не уменьшенную нами, сумму кредита), а последний – самым маленьким.

В нашем случае процент известен, поэтому в первый платеж надо будет выплатить процент: , да еще неизвестную часть кредита: , и по условию эта сумма не должна быть больше 1,8 млн. Поэтому

   

   

   

   

Ответ: 10 лет

 

Задача 2.  В июле планируется взять кредит в банке на сумму 20 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн рублей?


 

Задача с похожим условием. Давайте разбираться. Как мы выяснили ранее (например, в предыдущей задаче), платежи равными не будут. Самый большой платеж – первый, а потом каждый последующий все меньше и меньше, потому что с каждым платежом долг уменьшается на одну и ту же величину и процент, следовательно, тоже.

Сначала банк начислит нам процент на всю сумму кредита: , но в первый же платеж мы выплатим все эти деньги и вернем еще и часть долга, равную . Тогда мы останемся должны , и уже на эту сумму банк нам начислит проценты. И так далее: выплачиваем проценты и часть долга, банк начисляет проценты на оставшуюся часть.

Тогда в конце концов мы выплатим банку весь долг – 20 млн – и всю сумму процентов, всего – 47 млн, а сумма процентов  будет ни что иное, как арифметическая прогрессия:

   

   

Членов у такой прогрессии ровно столько, на сколько лет (ну или месяцев – где как) взят кредит, разность такой прогрессии равна , первый член – полная сумма, взятая в долг. Сумма арифметической прогрессии в скобках равна

   

В нашем случае сумма процентов равна млн, поэтому

   

   

   

   

   

Ответ: 8 лет

Задача 3.  В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 40 млн рублей?


 

Задача точно такая же, но с другими цифрами. Формулу больше не выводим, а просто ею пользуемся. Переплата равна:

   

   

   

   

   

   

   

Ответ: 11 лет

 

Задача 4. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 1 300 000 рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
На какое минимально количество лет можно взять кредит при условии, что ежегодные выплаты были не более 350 000 рублей?


Самый большой платеж – первый – равен сумме процентов и части долга¸ равной , и по условию эта сумма не должна быть больше 350 000. Поэтому

   

   

   

   

Ответ: 6 лет

 

 

Задача 5. 1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1-го числа каждого месяца банк начисляет 1 % на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1 %), затем Александр Сергеевич переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?


 

Самый большой платеж – первый – равен сумме процентов и части долга¸ равной , и по условию эта сумма не должна быть больше 275 000. Поэтому

   

   

   

   

Иными словами, Александр Сергеевич не сможет расплатиться за 4 месяца, поэтому минимальный срок – 5 месяцев.

Задачу можно решать и так: – то есть при условии, что не надо выплачивать проценты. Наибольшую сумму процентов – – Александру Сергеевичу предстоит выплатить в первый платеж, потом они будут уже меньше. То есть максимальная сумма выплат (без учета того, что проценты уменьшаются, то есть с лихвой) равна , а – то есть за 5 месяцев он всяко сможет расплатиться.
Ответ: 5 месяцев

Комментариев - 4

  • Руслан
    |

    в чем разница между последними двумя задачами, в предпоследней тоже >5, почему же ответ не 6?

    Ответить
    • Анна
      |

      Конечно же, 6! Опечатку исправила, благодарю.

      Ответить
  • Евгений
    |

    можно помочь с задачей? В июле 2016 года планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей, где S — натуральное число, на 3 года. Условия его возврата таковы − каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года; − с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; − в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующим графиком: Июль 2016 – S ; Июль 2017 – 0,7S ; Июль 2018 – 0,4S ; Июль 2019 – 0 рублей. Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

    Ответить
    • Анна
      |

      Задача 514627 на Решу Егэ – там приведено полное решение. Не хочу, чтобы за плагиат сочли – повторяться не стану.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *